Bestia nera di limite

[the_marox]

negli esercizi del libro compare questo limite

\( \lim_{x\ to \ 0}(cosx) ^ {(1/2x)} \)

premettendo che andrebbe risolto senza tener conto di De l'Hopital \ serie di Taylor \ infinitesimi ecc. ecc. quale può essere un metodo risolutivo?

io ho pensato a una risoluzione usando il teorema dei carabinieri cioé
prendendo \(\mathrm{x}^2 \)/2 -1 > \(\mathrm{cosx}\) > 1

[gugo82]

Hai:
\[
\begin{split}
(\cos x)^{\frac{1}{2x}} &= \exp \left( \frac{\log \cos x}{2x}\right) \\
&= \exp \left( \frac{\log (1+\cos x -1)}{2x}\right) \\
&= \exp \left( \frac{\log (1+\cos x -1)}{\cos x -1}\ \frac{\cos x -1}{2x}\right) \\
&= \exp \left( \frac{\log (1+\cos x -1)}{\cos x -1}\ \frac{\cos x -1}{-x^2}\ \frac{-x^{\cancel{2}}}{2\cancel{x}}\right) \\
\end{split}
\]
da cui, per i limiti notevoli, trai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{2x}} &= \lim_{x\to 0} \exp \left( \frac{\log (1+\cos x -1)}{\cos x -1}\ \frac{\cos x -1}{-x^2}\ \frac{-x^{\cancel{2}}}{2\cancel{x}}\right) \\
&= \exp \left( \lim_{x\to 0} \frac{\log (1+\cos x -1)}{\cos x -1}\ \frac{\cos x -1}{-x^2}\ \frac{-x^{\cancel{2}}}{2\cancel{x}}\right) \\
&= \exp (1\cdot \frac{1}{2}\cdot 0) \\
&= 1\; .
\end{split}
\]
Altrimenti, puoi fare con le maggiorazioni/minorazioni che dici, ma devi separare un po' i casi \(x\to 0^+\) ed \(x\to 0^-\).

[theras]

Altrimenti osserva che $EElim_(x to 0)("cos"x)^(1/(2x))=lim_(x to 0)[(1+1/(1/("cos"x-1)))^(1/("cos"x-1))]^(("cos"x-1)/(2x))=e^((1/2)*0)$(per noti limiti notevoli e proprietà dell'algebra dei limiti..)$=1$:
saluti dal web.