Bernoulliana di quarto grado
Mi trovo in difficoltà nel risolvere questa equazione differenziale: $ y'(x)-xy(x)=-xy^4(x) $.
Nonostante sia di quarto grado ho impostato la risoluzione nel modo classico:
$ y'=xy-xy^4->(y')/y^4=(xy)/y^4-x->(y')/y^4=(x)/y^3-x->(y')/y^4=xy^(-3)-x $ da cui $ z=y^-3->z'=-3y^-4y'=-3(y')/y^4->-3z'=xz-x->3z'=-xz+x->z'=-(x)/3z+(x)/3 $.
Essendo lineare di I grado:
$ y0(x)=e^(A(x) $ , dove $ A(x)=int-(x)/3 dx= -1/3intxdx=-x^2/6->y0(x)=Ce^(-x^2/6) $
$ yp(x)=e^(A(x))B(x) $ , dove $ B(x)=intx/3*e^((x^2)/6)dx $
Ora, prima di continuare nello svolgimento dell'integrale vorrei sapere se l'impostazione dell'equazione è corretta, ovvero a dire se anche per le bernoulliane di grado superiore al quarto vale lo stesso procedimento risolutivo
Nonostante sia di quarto grado ho impostato la risoluzione nel modo classico:
$ y'=xy-xy^4->(y')/y^4=(xy)/y^4-x->(y')/y^4=(x)/y^3-x->(y')/y^4=xy^(-3)-x $ da cui $ z=y^-3->z'=-3y^-4y'=-3(y')/y^4->-3z'=xz-x->3z'=-xz+x->z'=-(x)/3z+(x)/3 $.
Essendo lineare di I grado:
$ y0(x)=e^(A(x) $ , dove $ A(x)=int-(x)/3 dx= -1/3intxdx=-x^2/6->y0(x)=Ce^(-x^2/6) $
$ yp(x)=e^(A(x))B(x) $ , dove $ B(x)=intx/3*e^((x^2)/6)dx $
Ora, prima di continuare nello svolgimento dell'integrale vorrei sapere se l'impostazione dell'equazione è corretta, ovvero a dire se anche per le bernoulliane di grado superiore al quarto vale lo stesso procedimento risolutivo
Risposte
Il procedimento che hai seguito si può applicare alle bernoulliane di qualsiasi ordine, il tuo svolgimento dovrebbe andare benissimo.
Ne approfitto però per suggerire un altro metodo molto pratico per risolvere equazioni differenziali di questo tipo, che ho appreso dal Demidovič, ottimo testo di esercizi di analisi matematica.
Operando alla nostra equazione la sostituzione $ y(x) = u(x)v(x)$, con $u$ e $v$ funzioni di $x$, si ottiene
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( uv\right) -uvx = - x u^4 v^4 $$
ovvero
$$uv' + u'v -xuv = -xu^4v^4 $$
Raccogliendo il termine $v$, si ottiene
$$ uv' + v\left( u' - xu\right) = -xu^4v^4$$
A questo punto, scegliamo $u$ in modo da annullare il termine $u' - xu$. Imponendo $u'-xu = 0$, si può vedere che una scelta possibile è $u = e^{\frac{x^2}{2}$. Andando a sostituire nell'equazione:
$$ e^{\frac{x^2}{2}} v' = -x \left( e^{\frac{x^2}{2}} \right)^4 v^4 $$
e quindi
$$ v' = -x e^{\frac{3}{2} x^2} v^4 $$
Questa è una semplice equazione a variabili separabili, risolvibile tenendo conto che $ v=\frac{y}{u}=\frac{y}{e^{\frac{x^2}{2}} $.
Ne approfitto però per suggerire un altro metodo molto pratico per risolvere equazioni differenziali di questo tipo, che ho appreso dal Demidovič, ottimo testo di esercizi di analisi matematica.
Operando alla nostra equazione la sostituzione $ y(x) = u(x)v(x)$, con $u$ e $v$ funzioni di $x$, si ottiene
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( uv\right) -uvx = - x u^4 v^4 $$
ovvero
$$uv' + u'v -xuv = -xu^4v^4 $$
Raccogliendo il termine $v$, si ottiene
$$ uv' + v\left( u' - xu\right) = -xu^4v^4$$
A questo punto, scegliamo $u$ in modo da annullare il termine $u' - xu$. Imponendo $u'-xu = 0$, si può vedere che una scelta possibile è $u = e^{\frac{x^2}{2}$. Andando a sostituire nell'equazione:
$$ e^{\frac{x^2}{2}} v' = -x \left( e^{\frac{x^2}{2}} \right)^4 v^4 $$
e quindi
$$ v' = -x e^{\frac{3}{2} x^2} v^4 $$
Questa è una semplice equazione a variabili separabili, risolvibile tenendo conto che $ v=\frac{y}{u}=\frac{y}{e^{\frac{x^2}{2}} $.
Grazie per la dritta, vedrò dopo di esercitarmici.
Comunque (manco a farlo apposta) nella risoluzione dell'esercizio che avevo indicato mi sono bloccato appena prima dello svolgimento dell'integrale per $ B(x) $, che a quanto pare richiede di nuovo la funzione degli errori. Devo quindi lasciare $ B(x)=1/3intx*e^(x^2/6)dx $ e continuare a svolgerlo normalmente? Sarebbe a dire:
$ B(x)=1/3intx*e^(x^2/6) -> yp(x)=e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6) $ da cui $ z(x)=Ce^(-x^2/6)+e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6) $ che, per $ y=1/z $ diventa $ y(x)=1/(Ce^(-x^2/6)+e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6))=1/(e^(-x^2/6)(C+1/3intx*e^(x^2/6)) $ ?
Tra l'altro sto vedendo che wolfram opera diversamente. Prima di tutto non divide per $ y^4 $ bensì per $-1/3y^4 $, così da ottenere un equazione lineare di primo ordine del tipo $ z'+3xz=3x $. Poi si calcola $ y0(x)=Ce^(3x^2/2) $ ma senza poi procedere al calcolo di $ yp(x) $ bensì andando a moltiplicare ambo i membri per $ e^(3x^2/2) $ e quindi sostituendo $ 3x(e^(3x^2/2)) $ con $ d/dx $... non ci sarei mai arrivato all'esame a fare questo passaggio.
Hai qualche consiglio?
Comunque (manco a farlo apposta) nella risoluzione dell'esercizio che avevo indicato mi sono bloccato appena prima dello svolgimento dell'integrale per $ B(x) $, che a quanto pare richiede di nuovo la funzione degli errori. Devo quindi lasciare $ B(x)=1/3intx*e^(x^2/6)dx $ e continuare a svolgerlo normalmente? Sarebbe a dire:
$ B(x)=1/3intx*e^(x^2/6) -> yp(x)=e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6) $ da cui $ z(x)=Ce^(-x^2/6)+e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6) $ che, per $ y=1/z $ diventa $ y(x)=1/(Ce^(-x^2/6)+e^(-x^2/6)*1/3intx*e^(x^2/6))=1/(e^(-x^2/6)(C+1/3intx*e^(x^2/6)) $ ?
Tra l'altro sto vedendo che wolfram opera diversamente. Prima di tutto non divide per $ y^4 $ bensì per $-1/3y^4 $, così da ottenere un equazione lineare di primo ordine del tipo $ z'+3xz=3x $. Poi si calcola $ y0(x)=Ce^(3x^2/2) $ ma senza poi procedere al calcolo di $ yp(x) $ bensì andando a moltiplicare ambo i membri per $ e^(3x^2/2) $ e quindi sostituendo $ 3x(e^(3x^2/2)) $ con $ d/dx $... non ci sarei mai arrivato all'esame a fare questo passaggio.
Hai qualche consiglio?
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