Ben definito
Ciao...
Qualcuno potrebbe spiegarmi in parole povere lo sfuggente concetto di "ben definito"?
Studiando Analisi II mi trovo un esercizio del tipo
f(x):= $sum_{k=1}{ \infty} (1-x)(x^k)/(k)$
Dimostrare che f è ben definita per ogni x $\in$ [0,1]
Mi è capitato altre 2-3 volte di incontrare l'idea di "ben definito" e in quei casi ne avevo intuito il significato...
Ma se qualcuno mi desse indicazioni più precise gli sarei grata!!
In questo esercizio ad esempio non saprei come fare... Devo considerare il dominio della funzione?..Altro??
Vi ringrazio,
Paola
Qualcuno potrebbe spiegarmi in parole povere lo sfuggente concetto di "ben definito"?
Studiando Analisi II mi trovo un esercizio del tipo
f(x):= $sum_{k=1}{ \infty} (1-x)(x^k)/(k)$
Dimostrare che f è ben definita per ogni x $\in$ [0,1]
Mi è capitato altre 2-3 volte di incontrare l'idea di "ben definito" e in quei casi ne avevo intuito il significato...
Ma se qualcuno mi desse indicazioni più precise gli sarei grata!!
In questo esercizio ad esempio non saprei come fare... Devo considerare il dominio della funzione?..Altro??
Vi ringrazio,
Paola
Risposte
Basta controllare che quella serie converge semplicemente per ogni $x \in [0,1]$, in modo che sia possibile dire quanto fa $f(x)$.
Ad esempio (purtroppo ancora questa mi tocca tiare in ballo, e so che prima o poi qualcuno interverrà) la funzione $f(x)=(sen x)/x$ non è ben definita in tutto $\RR$, in quanto non è possibile associare un valore a $f(0)$ prescindendo da ogni ulteriore considerazione.
Ad esempio (purtroppo ancora questa mi tocca tiare in ballo, e so che prima o poi qualcuno interverrà) la funzione $f(x)=(sen x)/x$ non è ben definita in tutto $\RR$, in quanto non è possibile associare un valore a $f(0)$ prescindendo da ogni ulteriore considerazione.
Di solito l'espressione "ben definito" si usa in matematica in due casi:
1) quando una cosa sembra definita ma non è detto che lo sia (come nel tuo caso)
2) quando una definizione si appoggia su un elemento esterno da cui bisogna far vedere che non dipende, tipo la misura di un area secondo riemann che si misura integrando su un qualunque quadrato che contenga la superficie la funzione caratteristica di tale superficie, oppure tipicamente in algebra lineare o algebra astratta.
1) quando una cosa sembra definita ma non è detto che lo sia (come nel tuo caso)
2) quando una definizione si appoggia su un elemento esterno da cui bisogna far vedere che non dipende, tipo la misura di un area secondo riemann che si misura integrando su un qualunque quadrato che contenga la superficie la funzione caratteristica di tale superficie, oppure tipicamente in algebra lineare o algebra astratta.
Il problema sollevato da prime_number è assai interessante e merita di essere approfondito… anche se le conclusioni son certo non andranno incontro ai gusti di qualcuno…
Innanzitutto il significato etimologico dell’espressione ‘ben definito’ è comprensibile solo alla luce della sua espressione contraria, che potrebbe essere ‘non ben definito’ o anche ‘indeterminato’ … ecco che saltano fuori ancora una volta le famigerate ‘forme indeterminate’ che da anni vado ripetendo devono essere bandite dalla matematica
…
Esaminiamo in dettaglio la funzione proposta…
$f(x)= sum_(k=0)^(+oo) (1-x)*x^k/k$ (1)
… di cui si deve dimostrare che è ‘ben definita’ in tutti i punti dell’intervallo [chiuso] $[0,1]$. Innanzitutto senza eccessiva fatica di può arrivare alla seguente identità…
$f(x)=- (1-x)*ln (1-x)$ (2)
... per cui ponendo $t=1-x$ il problema è equivalente a dimostrare che la funzione…
$f(t)=-t*ln t$ (3)
… è anch’essa ‘ben definita’ nell’intervallo $[0,1]$….
Esaminando ora la (1) e tenendo conto della (2) è facile constatare che la serie è convergente per tutti le $x$ per cui è $0<=x<1$. Nel caso $x=1$ poi è immediato vedere che si annullano tutti i termini della serie (1) per cui sarà $f(1)=0$… c.v.d…
Ovviamente la conclusione ‘ovvia’ è che l’espressione (3) per $t=0$ non è affatto una [del resto inesistente] ‘forma indeterminata’ ma al contrario è ‘ben definita’ per tutti i valori di $t$ e non solo nell’intervallo $[0,1]$…
E’ del tutto ovvio infine che in maniera del tutto analoga è possibile dimostrare che la funzione seguente…
$sinc(x) = sum_(k=0)^(+oo) 1/x (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!)$ (4)
… è ‘ben definita’ per tutti gli $x$ reali… of corse!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Innanzitutto il significato etimologico dell’espressione ‘ben definito’ è comprensibile solo alla luce della sua espressione contraria, che potrebbe essere ‘non ben definito’ o anche ‘indeterminato’ … ecco che saltano fuori ancora una volta le famigerate ‘forme indeterminate’ che da anni vado ripetendo devono essere bandite dalla matematica
… Esaminiamo in dettaglio la funzione proposta…
$f(x)= sum_(k=0)^(+oo) (1-x)*x^k/k$ (1)
… di cui si deve dimostrare che è ‘ben definita’ in tutti i punti dell’intervallo [chiuso] $[0,1]$. Innanzitutto senza eccessiva fatica di può arrivare alla seguente identità…
$f(x)=- (1-x)*ln (1-x)$ (2)
... per cui ponendo $t=1-x$ il problema è equivalente a dimostrare che la funzione…
$f(t)=-t*ln t$ (3)
… è anch’essa ‘ben definita’ nell’intervallo $[0,1]$….
Esaminando ora la (1) e tenendo conto della (2) è facile constatare che la serie è convergente per tutti le $x$ per cui è $0<=x<1$. Nel caso $x=1$ poi è immediato vedere che si annullano tutti i termini della serie (1) per cui sarà $f(1)=0$… c.v.d…
Ovviamente la conclusione ‘ovvia’ è che l’espressione (3) per $t=0$ non è affatto una [del resto inesistente] ‘forma indeterminata’ ma al contrario è ‘ben definita’ per tutti i valori di $t$ e non solo nell’intervallo $[0,1]$…
E’ del tutto ovvio infine che in maniera del tutto analoga è possibile dimostrare che la funzione seguente…
$sinc(x) = sum_(k=0)^(+oo) 1/x (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!)$ (4)
… è ‘ben definita’ per tutti gli $x$ reali… of corse!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Probabilmente sbaglio,ma non e' che la (2) indicata da Lupo-grigio
ha senso solo dopo che si e' provata la convergenza (di un qualche tipo)
della serie data? Dico questo perché subito dopo Lupo-grigio afferma:
"Esaminando ora la (1) e tenendo conto della (2) ....."
E poi i ragionamenti successivi non andrebbero fatti solo sulla serie
e non sulla sua somma che ,a priori,potrebbe non essere nota ( anche a convergenza
accertata)?
karl
ha senso solo dopo che si e' provata la convergenza (di un qualche tipo)
della serie data? Dico questo perché subito dopo Lupo-grigio afferma:
"Esaminando ora la (1) e tenendo conto della (2) ....."
E poi i ragionamenti successivi non andrebbero fatti solo sulla serie
e non sulla sua somma che ,a priori,potrebbe non essere nota ( anche a convergenza
accertata)?
karl
Immaginavo la risposta di lupo grigio, non ho niente da dire, se non il consiglio a prime_number di fare bene attenzione alle solite falsità che dice.
Questa vuole essere l'ennesima lite infinita tra lupo grigio e Luca? Speriamo di no...
No, non temere, non perderò più il mio tempo così.
Non volendo un giorno essere alle prese con problemi di coscienza, ho anch'io una raccomandazione da fare a prime_number, sperando con tutto il cuore che essa venga accolta...
Lei ha proposto un quesito relativo ad un concetto contenuto nel suo libro di testo che non riusciva a comprendere a pieno e ciascuno di noi, nel possibile, ha cercato di chiarirglielo. Lei deciderà quale consiglio è valido e quale no. Quello che raccomando a lei è porre la stessa domanda che ha posto a noi agli insegnanti, in modo particolare a coloro che poi si troverà di fronte agli esami, da una lato per confrontare le loro risposte con quelle fornite da noi, dall'altro per 'sondare' la mentalità di coloro che poi la giudicheranno...
Cara prime_number, inutile che ti ricordi che, anche nel caso che all'esame ti trovassi di fronte una scimmia, passerai l'esame se [e solo se...] dirai alla scimmia quello che si aspetta di sentirsi dire...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Lei ha proposto un quesito relativo ad un concetto contenuto nel suo libro di testo che non riusciva a comprendere a pieno e ciascuno di noi, nel possibile, ha cercato di chiarirglielo. Lei deciderà quale consiglio è valido e quale no. Quello che raccomando a lei è porre la stessa domanda che ha posto a noi agli insegnanti, in modo particolare a coloro che poi si troverà di fronte agli esami, da una lato per confrontare le loro risposte con quelle fornite da noi, dall'altro per 'sondare' la mentalità di coloro che poi la giudicheranno...
Cara prime_number, inutile che ti ricordi che, anche nel caso che all'esame ti trovassi di fronte una scimmia, passerai l'esame se [e solo se...] dirai alla scimmia quello che si aspetta di sentirsi dire...
cordiali saluti
lupo grigio
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