Baricentro solido (esame venerdi!)
Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardo a questo esercizio:
$ Omega = {(x, y, z) in mathbb(R^3) : sqrt(x^2 + y^2/4) <= z<= 2sqrt(x^2+y^2) , z<= 1} $
Calcolare il volume di $ Omega $ e il suo baricento.
$ Omega $ dovrebbe essere il solido compreso tra il cono ellittico e il cono circolare, in pratica un cono ellittico con un foro conico in mezzo.
Dunque, il volume mi viene $ 7/12 pi $, e fin qui è giusto.
Riguardo al calcolo del baricentro, le coordinate $ x $ e $ y $ sono $ 0 $ per simmetria, mentre la coordinata $ z $ la calcolo con la formula:
$ z = 1/(V(Omega ))int int int_()^() z dx dy dz = 12/(7pi)int_(0)^(1) z int int_(Area Sz) dx dy dz $
L'area di $ Sz $ è l'area dell'ellisse $ x^2/z^2 + y^2/(4z^2)<=1 $ meno l'area del cerchio di raggio $ x^2 + y^2 <= (z/4)^2 $.
Il modo più semplice per farlo è usare le formule geometriche per calcolare l'area totale, moltiplicare l'area per $ z $ e calcolare l'integrale tra $ 0 $ e $ 1 $.
Naturalmente questo non è ciò che ho fatto io.
In pratica, per calcolare tale area, ho usato le coordinate ellittiche ponendo $ { ( x= zrhocosvartheta ),( y = 2zrhosintheta ):} $ con $ z/2 <= rho <= 1 $ e $0<= theta<=2pi $, dove $ z/2 $ è il raggio del cerchio interno.
Purtroppo svolgendolo così il risultato mi viene $ 5/7 $, mentre con l'altro metodo viene $ 3//4 $, che è corretto!
Potreste dirmi dove sbaglio con il mio procedimento? E' giusto un chiarimento, nel caso capitasse all'esame un solido la cui area della sezione non fosse così semplice da calcolare. Grazie mille!
$ Omega = {(x, y, z) in mathbb(R^3) : sqrt(x^2 + y^2/4) <= z<= 2sqrt(x^2+y^2) , z<= 1} $
Calcolare il volume di $ Omega $ e il suo baricento.
$ Omega $ dovrebbe essere il solido compreso tra il cono ellittico e il cono circolare, in pratica un cono ellittico con un foro conico in mezzo.
Dunque, il volume mi viene $ 7/12 pi $, e fin qui è giusto.
Riguardo al calcolo del baricentro, le coordinate $ x $ e $ y $ sono $ 0 $ per simmetria, mentre la coordinata $ z $ la calcolo con la formula:
$ z = 1/(V(Omega ))int int int_()^() z dx dy dz = 12/(7pi)int_(0)^(1) z int int_(Area Sz) dx dy dz $
L'area di $ Sz $ è l'area dell'ellisse $ x^2/z^2 + y^2/(4z^2)<=1 $ meno l'area del cerchio di raggio $ x^2 + y^2 <= (z/4)^2 $.
Il modo più semplice per farlo è usare le formule geometriche per calcolare l'area totale, moltiplicare l'area per $ z $ e calcolare l'integrale tra $ 0 $ e $ 1 $.
Naturalmente questo non è ciò che ho fatto io.
In pratica, per calcolare tale area, ho usato le coordinate ellittiche ponendo $ { ( x= zrhocosvartheta ),( y = 2zrhosintheta ):} $ con $ z/2 <= rho <= 1 $ e $0<= theta<=2pi $, dove $ z/2 $ è il raggio del cerchio interno.
Purtroppo svolgendolo così il risultato mi viene $ 5/7 $, mentre con l'altro metodo viene $ 3//4 $, che è corretto!
Potreste dirmi dove sbaglio con il mio procedimento? E' giusto un chiarimento, nel caso capitasse all'esame un solido la cui area della sezione non fosse così semplice da calcolare. Grazie mille!
Risposte
Clarissimo, grazie ancora!
Posso chiederti cosa c'era di sbagliato nel mio metodo? Gli estremi di integrazione per caso?
Grazie ancora e scusa per il disturbo!
Posso chiederti cosa c'era di sbagliato nel mio metodo? Gli estremi di integrazione per caso?
Grazie ancora e scusa per il disturbo!
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