Baricentro solido
$ {(x,y,z):x^2+y^2/4=1,0<= z<= -x+1} $
Risposte
Ciao e benvenuto. Ti consiglio di leggere il regolamento del forum. Dovresti scrivere in maniera chiara la domanda e esporre i tuoi tentativi. Sapendo dov'è il problema, possiamo aiutarti meglio. Ricorda soprattutto che il forum non è un risolutore automatico di esercizi, quindi messaggi come questo in genere vengono ignorati 
Ti consiglio di modificare il post e iniziare a impostare l'integrale, per poi spiegare dove ti blocchi
Ti consiglio di modificare il post e iniziare a impostare l'integrale, per poi spiegare dove ti blocchi
Scusa e' che non sapevo come affiancare il testo alle formule. Cmq in realta' il mio unico dubbio su questo esercizio e' che vedendo una risoluzione, fa notare come il piano z=-x+1 sia di simmetria per il il cilindro che ha come base l'ellisse indicata sopra e da questo deduce il volume del solido e' la meta' di quella del cilindro in questione in modo da semplificare i conti. Ma i piani di simmetria di un cilindro non sono quelli contenenti l'asse di rotazione? questo interseca l'asse z solo in un punto.
Prova a vedere il solido "lateralmente", cioè solo sul piano di assi $x$ e $z$. Qui il piano diventa una retta, mentre il cilindro diventa un rettangolo di base $1$ e altezza $2$. Ora, puoi notare che la retta è una diagonale di questo rettangolo e quindi lo divide in due parti uguali. Questo ti dà un'idea del perché il cilindro venga diviso in due parti uguali da quel piano.
Allora, il volume del solido in questione è semplicemente $1/2 \pi a b h$, dove $a,b$ sono i semiassi dell'ellisse e $h$ è l'altezza del cilindro.
Non soltanto. Se prendi, ad esempio, i piani ortogonali all'asse che si trovano a metà altezza (o qualunque piano ortogonale se il cilindro è infinito), essi sono piani di simmetria. In questo caso, comunque, anche quel piano è di simmetria ortogonale. Infatti, il cilindro è equilatero (cioè altezza e diametro sono congruenti) e il piano è una diagonale del quadrato (sempre guardando lateralmente). In ogni caso, anche se non fosse una simmetria ortogonale, dividerebbe il cilindro in due parti uguali, che è ciò che ti interessa ai fini del calcolo del volume.
Inoltre, osserva che in questo caso, non tutti i piani contententi l'asse $z$ sono di simmetria: infatti lo sono solo quelli che contengono gli assi di simmetria dell'ellisse (e l'asse $z$ non è "di rotazione" perché quel cilindro non è un solido di rotazione, altrimenti avrebbe base circolare)
Detto ciò, devi trovare baricentro o volume?
Allora, il volume del solido in questione è semplicemente $1/2 \pi a b h$, dove $a,b$ sono i semiassi dell'ellisse e $h$ è l'altezza del cilindro.
"MugiwaranoLuffy":
Ma i piani di simmetria di un cilindro non sono quelli contenenti l'asse di rotazione?
Non soltanto. Se prendi, ad esempio, i piani ortogonali all'asse che si trovano a metà altezza (o qualunque piano ortogonale se il cilindro è infinito), essi sono piani di simmetria. In questo caso, comunque, anche quel piano è di simmetria ortogonale. Infatti, il cilindro è equilatero (cioè altezza e diametro sono congruenti) e il piano è una diagonale del quadrato (sempre guardando lateralmente). In ogni caso, anche se non fosse una simmetria ortogonale, dividerebbe il cilindro in due parti uguali, che è ciò che ti interessa ai fini del calcolo del volume.
Inoltre, osserva che in questo caso, non tutti i piani contententi l'asse $z$ sono di simmetria: infatti lo sono solo quelli che contengono gli assi di simmetria dell'ellisse (e l'asse $z$ non è "di rotazione" perché quel cilindro non è un solido di rotazione, altrimenti avrebbe base circolare
)Detto ciò, devi trovare baricentro o volume?
grazie mille mi e' tutto chiaro. cmq era il baricentro pero' non ho avuto problemi. Quindi per vedere queste proprieta' dei solidi mi consigli di guardare cosa succede in due dimensioni se non e' immediato?
FIgurati Sì, guardare le proiezioni sui piani fondamentali può aiutarti a discernere delle proprietà perché sono meglio visualizzabili in due dimensioni. In questo caso, lo suggeriva il piano stesso, perché proiettato diventava una retta. Quindi devi vedere di caso in caso comunque
Sì, guardare le proiezioni sui piani fondamentali può aiutarti a discernere delle proprietà perché sono meglio visualizzabili in due dimensioni. In questo caso, lo suggeriva il piano stesso, perché proiettato diventava una retta. Quindi devi vedere di caso in caso comunque
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