Baricentro porzione cono ellittico retto

[proficus]

Buongiorno a tutti,
ho qualche difficoltà con questo esercizio di analisi due.
Testo:
Sia $ kin mathbb(mathbb(R) ) ^3 $ la porzione di cono ellittico retto $ z>= sqrt(x^2/4+y^2/9) $ compresa fra i piani $ z=0 $ e $ z=1 $ . Allora la coordinata $ zB $ del baricentro di $ K $ è:
A. $ 1/3 $

B. $ 2/3 $

C. $ 3/4 $

D. $ pi/6 $

E. $ 1/2 $

Grazie in anticipo per l'aiuto

[johnhappy1]

In cosa hai difficoltà? Cerca di essere più preciso. Non sai come calcolare il baricentro o hai problemi nei calcoli? Mostra quello che hai fatto cosi potrà venire più semplice aiutarti.

[proficus]

Al rigor di logica la risposta dovrebbe essere la B dal momento che si tratta di un cono rovesciato.
Quello che inizialmente non capisco è se i semiassi dell'ellisse sono 4 e 9 o 2 e 3.

[johnhappy1]

Ci sono diversi modi per arrivare alla soluzione. Il metodo standard sarebbe quello di usare la formula
$\frac{\int_K z dx dy dz}{\int_K dx dy dz}.$ Per calcolare i due integrali bisogna osservare che fissata una $z \in ]0,1]$, la z-sezione di $K$ è data da $K_z=\{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} =z \}=\{\frac{x^2}{(2\sqrt{z})^2} + \frac{y^2}{(3\sqrt{z})^2} =1 \}$, la cui area è data da $\pi (2\sqrt{z})(3\sqrt{z}) = 6 \pi z$ (i semiassi dell'ellisse sono $2\sqrt{z}$ e $3\sqrt{z}$). Da qui abbiamo che:
$\int_K z dx dy dz = \int_0^1 z (\int_{K_z} dx dy) dz = \int_0^1 6 \pi z^2 dz = 2 \pi $
$\int_K dx dy dz = \int_0^1 (\int_{K_z} dx dy) dz = \int_0^1 6 \pi z dz = 3 \pi $
e quindi $\frac{\int_K z dx dy dz}{\int_K dx dy dz}.$ = 2/3.

[proficus]

Grazie, sei stato di grande aiuto!