Baricentro elica cilindrica

[ludwigZero]

Sto trovando il baricentro dell'elica cilindrica che come equazioni parametriche ha:

$x = r cos t$
$y = r sin t$
$z = k t$

con $0<=t <= 2 \pi$

trovo la lunghezza:
$l(\gamma) = \int sqrt(r^2 sin^2 t + r^2 cos^2 t + k^2) = 2 \pi sqrt(r^2 + k^2)$

$x' = -r sin t$
$y' = r cos t$
$z' = k$

per il baricentro, il libro dice che le cordinate sono: $(0,0, k \pi)$ mentre un pdf trovato in rete riporta: http://****/9yj4O
non capisco come faccia ad uscire $x_0 = k/2$ e ho avuto qualche dubbio anche su $z_0$ infatti a me viene diverso:
$z_0 =1/[2 \pi sqrt(r^2 + k^2)] \int k t (2 \pi sqrt(r^2 + k^2)) dt = k [(t^2)/2] = 2 k \pi^2$ se viene fatto tra $[0,2 \pi]$

dov è l'errore?

[Rigel1]

Nella tua espressione per \(z_0\) mi sembra ci sia un \(2\pi\) di troppo dentro l'integrale (hai messo tutta la lunghezza della curva al posto del \(ds\)).

[ludwigZero]

continuo a non capire perchè il $2 \pi$ è di troppo, evidentemente
$ds = sqrt ( r^2 sin^2 t + r^2 cos^2 t + k^2)$
il $2 \pi$ esce perchè faccio un integrale definito in quell'intervallo, giusto?