Baricentro di una parabola con integrale

[marthy_92]

Ciao a tutti ! ho dei problemi con questo esercizio.
Data la curva materiale di equazione $ y = x^2/2 $ , $ x in[0,1] $ e densità lineare

$ mu(x)=k/(sqrt(1+x^2) $ , $ k>0, x in [0,1] $ determinare la posizione del baricentro


Usando una formula si ha che

$ OG = (int_(C)^() mu OP dC) / (int_(C)^() mu dC) $

Ho introdotto un rifermiento Oxy e disegnato la parabola.Data la curva quelli sono integrali di linea
$ OG = (int_(C)^() mu OP dC) / (int_(C)^() mu dC) = (1/m )int_(C)^() mu OP dC $

Inoltre poichè la parabola è simmetrica rispetto all'asse x il suo baricentro ha coordinata nulla
Il problema è che non riesco ad esplicitare la posizione del generico punto OP per inserirla nell'integrale
per calcolare Yg mi serve infatti l'ordinata del generico punto :/
chi mi aiuta?

Inoltre dato che a me interessa solo un tratto di curva , ho sbagliato a introdurre quel riferimento? Dovevo sceglierlo con l'origine nel punrto di ascissa 0.5 ?

[marthy_92]

Allora ho svolto i calcoli

ho preso la parametrizzazione per la parabola


$ { ( x(t)=t ),( y(t)=t^2/2 ):}, t in[0,1] $

Ho calcolato per prima la massa della curva

$ m = int_(C)^() mudC= int_(gamma)(k/(sqrt(1+x^2)))ds = int_(0)^(1) k/(sqrt(1+t^2))*sqrt(1+t^2) dt = k $

Poi ho determinato le coordinate del baricentro G con gli integrali

$ Xg = 1/m int_(gamma) (k/(sqrt(1+x^2)))*x ds = 1/m int_(0)^(1) k/(sqrt(1+t^2))*sqrt(1+t^2)*t dt=k/(2m) $

analogamente

$ Yg= 1/m int_(0)^(1) k/(sqrt(1+t^2))*sqrt(1+t^2)*(t^2/2) dt=k/(6m) $

ora considerando che $ k = m$ posso dire che il baricentro è $ G = (1/2, 2/6) $

credo che non dovrebbero esserci errori

[marthy_92]

ok si è una svista Grazie tante