Baricentro di una lamina omogenea
Data la regione $D1 = {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 9,}$\${(x,y) : y ≤ 0, x ≤ 0}$ e $D2 = {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 1, y ≤ 0, x ≤ 0}$ devo scrivere D= D1 U D2 come unione di regioni y-semplici.
Innanzitutto, è giusto che D1 sia la parte di circonferenza del primo quadrante (con raggio 3) e D2 la parte di circonferenza del terzo quadrante (raggio 1)?
Innanzitutto, è giusto che D1 sia la parte di circonferenza del primo quadrante (con raggio 3) e D2 la parte di circonferenza del terzo quadrante (raggio 1)?
Risposte
Mi sembra che ambedue le regioni siano nel terzo quadrante, in'oltre $D_2 \subset D_1$ quindi $D_1 \cup D_2=D_1$.
Scusa, ho notato che ho sbagliato a scrivere, ho modificato ora il testo
OK possiamo scrivere
$D_1={(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 9, x>0, y>0}$
che è il quarto di cerchio centrato nell'origine, locato nel primo quadrante.
$ x^2+y^2 \leq 9 \Rightarrow y \leq \pm \sqrt{9-x^2}$
con $x \in (0,3)$ trattandosi del primo quadrante prendiamo solo la parte positiva, quindi
$D_1={(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \sqrt{9-x^2}, 0 < x < 3 }$
che è y semplice.
$D_1={(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 9, x>0, y>0}$
che è il quarto di cerchio centrato nell'origine, locato nel primo quadrante.
$ x^2+y^2 \leq 9 \Rightarrow y \leq \pm \sqrt{9-x^2}$
con $x \in (0,3)$ trattandosi del primo quadrante prendiamo solo la parte positiva, quindi
$D_1={(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \sqrt{9-x^2}, 0 < x < 3 }$
che è y semplice.
Io devo scrivere D come unione di regioni y-semplici...
Ho ragionato così:
$1/(massa) int_(-1)^(0) int_(-sqrt(1-x^2) )^(0) kdy dx + 1/(massa) int_(0)^(3)int_(0)^(sqrt(9-x^2) ) kydy dx$
Dove le masse risultano essere $k9pi/4$ e $kpi/4$
è giusta l'impostazione?
Ho ragionato così:
$1/(massa) int_(-1)^(0) int_(-sqrt(1-x^2) )^(0) kdy dx + 1/(massa) int_(0)^(3)int_(0)^(sqrt(9-x^2) ) kydy dx$
Dove le masse risultano essere $k9pi/4$ e $kpi/4$
è giusta l'impostazione?
Ma scusa, se risolvi quegli integrali ottieni un numero. Un numero non è un insieme.
Ancora una volta ho sbagliato, colpa della troppa analisi ahahah
Allora... L'integrale che ho scritto serve per calcolare il baricentro di una lamina omogenea che occupa D, impostato così è giusto?
Allora... L'integrale che ho scritto serve per calcolare il baricentro di una lamina omogenea che occupa D, impostato così è giusto?
Non lo so, però per risolvere quel tipo di integrali io sarei passato alle coordinate polari.
Comunque il baricentro di una lamina dovrebbe essere un punto dello spazio $\mathbb{R}^2$.
Ok, grazie lo stesso 
Spero ci sia qualcuno che legga questo post, volevo capire se era giusto impostarlo così
Spero ci sia qualcuno che legga questo post, volevo capire se era giusto impostarlo così
Per curiosità, con le coordinate polari come l'avresti impostato?
Ad esempio $D_1$ diventa
$D_1={ 0 < \rho \leq 3, \theta \in (0,\pi/2)}$
quindi l'integrale
$\int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-x^2}} y dy dx$
diventa
$\int_0^3 \int_0^{\pi/2} \rho^2 \sin(\theta) d\rho d\theta$
$D_1={ 0 < \rho \leq 3, \theta \in (0,\pi/2)}$
quindi l'integrale
$\int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-x^2}} y dy dx$
diventa
$\int_0^3 \int_0^{\pi/2} \rho^2 \sin(\theta) d\rho d\theta$
Mentre D2 $int_(-1)^(0) int_(-pi/2 )^(0) kρ^2sen dθ dρ$ ?
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