Baricentro di una lamina non omogenea
Ragazzi cerco un aiuto per risolvere questo esercizio di un compito di analisi 2.
Calcolare l'ascissa del baricentro di una lamina non omogenea delimitata dall'asse x, dall'asse y, dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio unitario e dalla retta $ x+y=4 $
La lamina ha densità superficiale $ rho = y / (x^2+y^2) $ .
suggerimento: il calcolo di un'integrale va fatto con la trasformazione in coordinate polari e l'altro con le formule di riduzione.
Purtroppo mi sono piantato in pieno e non riesco proprio a venirne fuori...
Calcolare l'ascissa del baricentro di una lamina non omogenea delimitata dall'asse x, dall'asse y, dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio unitario e dalla retta $ x+y=4 $
La lamina ha densità superficiale $ rho = y / (x^2+y^2) $ .
suggerimento: il calcolo di un'integrale va fatto con la trasformazione in coordinate polari e l'altro con le formule di riduzione.
Purtroppo mi sono piantato in pieno e non riesco proprio a venirne fuori...
Risposte
Qui sostanzialmente devi calcolare queste due formule abbastanza paurose:
$x_B=(\int_A \rho\ x\ d\sigma)/(\int_A \rho\ d\sigma)$
e
$y_B=(\int_A \rho\ y\ d\sigma)/(\int_A \rho\ d\sigma)$
dove $A$ è l'area della figura, la quale si può descrivere come un triangolo meno un settore circolare.
Quello che ti suggeriscono è di calcolare separatamente sull'area del triangolo e sull'area del settore e poi di fare la differenza, cioè ad esempio
$\int_A \rho\ d\sigma = \int_(TRI)\rho\ d\sigma-\int_(CIRC)\rho\ d\sigma$
dove TRI è la zona triangolare e CIRC è il settore circolare. Dopo "va da sè" che uno lo calcoli in coordinate polari e l'altro in cartesiane o come viene meglio.
$x_B=(\int_A \rho\ x\ d\sigma)/(\int_A \rho\ d\sigma)$
e
$y_B=(\int_A \rho\ y\ d\sigma)/(\int_A \rho\ d\sigma)$
dove $A$ è l'area della figura, la quale si può descrivere come un triangolo meno un settore circolare.
Quello che ti suggeriscono è di calcolare separatamente sull'area del triangolo e sull'area del settore e poi di fare la differenza, cioè ad esempio
$\int_A \rho\ d\sigma = \int_(TRI)\rho\ d\sigma-\int_(CIRC)\rho\ d\sigma$
dove TRI è la zona triangolare e CIRC è il settore circolare. Dopo "va da sè" che uno lo calcoli in coordinate polari e l'altro in cartesiane o come viene meglio.
Grazie mille 
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