Baricentro di un triangolo rettangolo isoscele

[marthy_92]

Ciao a tutti! Devo calcolare il baricentro di un triangolo rettangolo isoscele in cui la misura del cateto è $ Rsqrt2/2 $
Ho impostato l'integrale doppio ma non ritrovo il risultato corretto che dovrebbe essere $ Rsqrt2/2 *1/3 $ dalla teoria
Dopo aver posizionato il triangolo in un riferimento Oxy con assi solidali ai due cateti, ho scritto che il dominio di integrazione
è così fatto

$ D = {(x,y)inRR^2: 0<=x<=Rsqrt2/2, 0<=y<=-x+Rsqrt2/2} $

ove $ y=-x+Rsqrt2/2 $ è l'equazione della retta ipotenusa del triangolo per i punti $ A(Rsqrt2/2, 0) , B =(0, Rsqrt2/2) $

La massa del triangolo è $ M = (m)/(pi-1) $ e la sua densità è $ mu= m /((pi-1)R^2) $

Poichè la retta y = x è un'asse di simmetria e la figura è omogenea il baricentro starà su essa e basta solo calcolare la sua x


\( Xg= (1/M)*\int_{0}^{R\sqrt{2}/2 } \int_{0}^{-x+R\sqrt{2}/2} \mu x \, dx \, dy \) =

\( (1/M)*\mu*\int_{0}^{R\sqrt{2}/2 } x(-x+R\sqrt{2}/2) \, dx \) =

\( (1/M)*\mu*\int_{0}^{R\sqrt{2}/2 } (-x^2+(R\sqrt{2}/2)x) \, dx \) =

$ (1/M)*\mu*[-x^3/3+Rsqrt2/2*x^2/2] $ esteso agli estremi di integrazione

= $ (1/M)*\mu*[-1/3R^3*sqrt2/4+Rsqrt2/4R^2*(2/4)]=.... $

e il sirultato mi viene $ Rsqrt2/24 $ . Credo ci sia errore di calcolo, non saprei ho ricontrollato 300 volte

chi mi aiuta?