Baricentro di un Dominio
Buon pomeriggio a tutti,
ho provato a svolgere il seguente esercizio sul baricentro di un dominio, ma ho difficoltà innanzitutto ad individuare il dominio dato.
Sia $ D={ (x,y) in RR^2: x>=0, (x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2}$. Si calcoli il baricentro di D.
Leggendo l'insieme, ho dedotto che il dominio si trova nel primo e/o quarto quadrante e poichè $ 0<=(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 $, segue che anche $ 0<= x^2-y^2 $, per cui $ x<=-y uu x>=y $
Quindi graficamente ho rappresentato le bisettrici $ y=x $, $ y=-x $ e ho preso come dominio, lo spicchio di circonferenza di $r=1$ e centro l'origine (data da $x^2+y^2=1$), compresa tra le due bisettrici e situata nel primo e quarto quadrante.
Non sono affatto sicura però che sia giusto, anzi... non so proprio come altro individuare questo dominio.
Ho poi calcolato la misura del dominio e applicato la formula per trovare il baricentro, che è venuto $B=(2/3, 1/3)$
Potreste darmi per favore qualche suggerimento su come individuare D? Grazie.
ho provato a svolgere il seguente esercizio sul baricentro di un dominio, ma ho difficoltà innanzitutto ad individuare il dominio dato.
Sia $ D={ (x,y) in RR^2: x>=0, (x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2}$. Si calcoli il baricentro di D.
Leggendo l'insieme, ho dedotto che il dominio si trova nel primo e/o quarto quadrante e poichè $ 0<=(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 $, segue che anche $ 0<= x^2-y^2 $, per cui $ x<=-y uu x>=y $
Quindi graficamente ho rappresentato le bisettrici $ y=x $, $ y=-x $ e ho preso come dominio, lo spicchio di circonferenza di $r=1$ e centro l'origine (data da $x^2+y^2=1$), compresa tra le due bisettrici e situata nel primo e quarto quadrante.
Non sono affatto sicura però che sia giusto, anzi... non so proprio come altro individuare questo dominio.
Ho poi calcolato la misura del dominio e applicato la formula per trovare il baricentro, che è venuto $B=(2/3, 1/3)$
Potreste darmi per favore qualche suggerimento su come individuare D? Grazie.
Risposte
Ciao,
la curva $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ è una lemniscata (il simbolo dell'infinito in sostanza). Puoi trovare facilmente informazioni su di essa in rete, ad esempio qui.
In ogni caso, anche se la tua idea fosse stata corretta, hai un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$, trovo strano che l'ordinata del baricentro sia diversa da $0$
la curva $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ è una lemniscata (il simbolo dell'infinito in sostanza). Puoi trovare facilmente informazioni su di essa in rete, ad esempio qui.
In ogni caso, anche se la tua idea fosse stata corretta, hai un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$, trovo strano che l'ordinata del baricentro sia diversa da $0$
Penso che convenga usare le coordinate polari: ponendo $x=r cos theta$ e $y=r sin theta$, la disequazione diventa $r^4 <= r^2(cos^2 theta - sin^2 theta) \Rightarrow 0 <=r <= sqrt(cos 2theta)$, con $-pi/4 <= theta <= pi/4$: da qui è facile sia capire la forma del dominio, sia impostare gli integrali per trovare il baricentro.
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