Baricentro della cicloide?
ciao a tutti,
non riesco ad impostare l'integrale per trovare il baricentro del primo arco della cicloide. ovviamente mi interessa conoscere l'ordinata, dato che l'ascissa è ovviamente in pigreca.
non riesco ad impostare l'integrale:
[tex]\int dxdy y[/tex]
che compare nella formula.
quali sono gli estremi di integrazione? come rigiro l'integrale per tenere conto che la cicloide mi vien data in forma parametrica?
potrei ottenere facilmente l'equazione cartesiana della cicloide, ma non è questa la via che voglio seguire se possibile.
si può impostare opportunamente tale integrale usando la forma parametrica della cicloide? se si come? almeno qualche suggerimento
grazie in anticipo per le risposte.
non riesco ad impostare l'integrale per trovare il baricentro del primo arco della cicloide. ovviamente mi interessa conoscere l'ordinata, dato che l'ascissa è ovviamente in pigreca.
non riesco ad impostare l'integrale:
[tex]\int dxdy y[/tex]
che compare nella formula.
quali sono gli estremi di integrazione? come rigiro l'integrale per tenere conto che la cicloide mi vien data in forma parametrica?
potrei ottenere facilmente l'equazione cartesiana della cicloide, ma non è questa la via che voglio seguire se possibile.
si può impostare opportunamente tale integrale usando la forma parametrica della cicloide? se si come? almeno qualche suggerimento
grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Ma quale ? Questa qua ?
$ x = \theta - \sin \theta $
$y = 1-\cos \theta$
Questa è una cicloide.
Allora:
$dx = (1-\cos\theta) d\theta$
Il suo baricentro in y è:
$y_B = (\int y^2 dx)/(2\int y\ dx) = (\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta)/(2\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^2\ d\theta) $
Adesso devi "solo" risolvere questo splendido integrale.
edit: correzione
$ x = \theta - \sin \theta $
$y = 1-\cos \theta$
Questa è una cicloide.
Allora:
$dx = (1-\cos\theta) d\theta$
Il suo baricentro in y è:
$y_B = (\int y^2 dx)/(2\int y\ dx) = (\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta)/(2\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^2\ d\theta) $
Adesso devi "solo" risolvere questo splendido integrale.
edit: correzione
un secondo un secondo un secondo!
si, quella è la cicloide, ok. gli integrali li so risolvere (cioè so quali procedimenti usare, ma chiaramente farò errori di calcolo -.-). MA!
io sapevo che l'integrale al numeratore per trovare l'ordinata del baricentro è:
[tex]\int dx dy (y)[/tex]
che, se integro y, mi dà:
[tex]\frac{1}{2}\int dx (y^2)[/tex]
che fine ha fatto l'1/2 nella tua formula? o.o
si, quella è la cicloide, ok. gli integrali li so risolvere (cioè so quali procedimenti usare, ma chiaramente farò errori di calcolo -.-). MA!
io sapevo che l'integrale al numeratore per trovare l'ordinata del baricentro è:
[tex]\int dx dy (y)[/tex]
che, se integro y, mi dà:
[tex]\frac{1}{2}\int dx (y^2)[/tex]
che fine ha fatto l'1/2 nella tua formula? o.o
Hai ragione. Si è perso per strada $1/2$.
bene. ora c'è un ente naturale o divino che sia in grado di spiegarmi perchè io non ci sono arrivato da solo? :\
vabbeh... faccio ammenda ç.ç
risolto qui... dimenticate in fretta questo thread per favore ._.
vabbeh... faccio ammenda ç.ç
risolto qui... dimenticate in fretta questo thread per favore ._.
[tex]y_g = \frac{5}{6}[/tex]?
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