Baricentro curva

[Gost91]

Buona sera a tutti ragazzi!

Stasera volevo provare a calcolare il baricentro della seguente curva:

$\phi(t)={(x=2cost),(y=2sint),(z=t):}$ con $t\in[0,2pi]$

Per prima cosa mi calcolo la lunghezza di tale curva:

$\phi'(t)\equiv[[-2sint],[2cost],[1]]$

$|\phi'(t)|=sqrt(4sin^2t+4cos^2t+1)=sqrt(5)$

$L(\phi)=sqrt(5)\int_{0}^{2pi}dt=2pisqrt(5)$

Quindi procedo con il calcolo delle delle singole coordinate:

$\bar{x}=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}xdt=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}2costdt=1/(pisqrt(5))sint|_{0}^{2pi}=0$

$\bar{y}=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}ydt=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}2sintdt=1/(pisqrt(5))-cost|_{0}^{2pi}=0$

$\bar{z}=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}zdt=1/(2pisqrt(5))\int_{0}^{2pi}tdt=1/(2pisqrt(5))t^2/2|_{0}^{2pi}=pi/sqrt(5)$

Sicchè concluderei affermando che il baricentro di tale curva si trova nel punto $\bar{P}\equiv(0,0,pi/sqrt(5))$

La domanda è classica: c'è qualche errore concettuale/computazionale nella mia risoluzione?
Grazie a tutti in anticipo!

[ciampax]

Mi sembra corretto. Tra l'altro, ragionandoci su, avresti immediatamente potuto dire che il baricentro si trova lungo l'asse $z$. Perché?

[Gost91]

Perchè la curva in questione è un elicoide, infatti reputavo molto attendibile il risultato ottenuto