Bacino di attrazione per un punto d'equilibrio
Salve a tutti!
Sto svolgendo il seguente esercizio ma a un certo punto incontro un problema.
Si consideri l'equazione differenziale:
$x''+a|x'|x'+k(9-x^2)x'+x=0$ con $a,k>=0$
Mostrare che per per $a,k>0$ l'origine è asintoticamente stabile e definire il bacino di attrazione al variare dei parametri $a,k>=0$
Per prima cosa ho scritto la mia equazione sotto forma di sistema
Ho visto che $(0,0)$ è un punto critico
Ho trovato che la funzione $V(x,y)=1/2(x^2+y^2)$ è una funzione di Lyapunov per il mio sistema relativamente all'origine
Ho visto che l'insieme in cui la derivata rispetto al tempo di $V(x,y)$ si annulla coincide con l'insieme {$(b,0)$ al variare di b nei reali} che non contiene sottoinsiemi invarianti per il mio sistema diversi dall'origine, quindi per il teorema di Lyapunov $(0,0)$ è un punto d'equilibrio asintoticamente stabile
Come faccio a determinare il bacino di attrazione?
Domanda forse un pò scema:
Il bacino di attrazione di un punto asintoticamente stabile e il bacino di una funzione di Lyapunov sono la stessa cosa?
Grazie a tutti
Sto svolgendo il seguente esercizio ma a un certo punto incontro un problema.
Si consideri l'equazione differenziale:
$x''+a|x'|x'+k(9-x^2)x'+x=0$ con $a,k>=0$
Mostrare che per per $a,k>0$ l'origine è asintoticamente stabile e definire il bacino di attrazione al variare dei parametri $a,k>=0$
Per prima cosa ho scritto la mia equazione sotto forma di sistema
Ho visto che $(0,0)$ è un punto critico
Ho trovato che la funzione $V(x,y)=1/2(x^2+y^2)$ è una funzione di Lyapunov per il mio sistema relativamente all'origine
Ho visto che l'insieme in cui la derivata rispetto al tempo di $V(x,y)$ si annulla coincide con l'insieme {$(b,0)$ al variare di b nei reali} che non contiene sottoinsiemi invarianti per il mio sistema diversi dall'origine, quindi per il teorema di Lyapunov $(0,0)$ è un punto d'equilibrio asintoticamente stabile
Come faccio a determinare il bacino di attrazione?
Domanda forse un pò scema:
Il bacino di attrazione di un punto asintoticamente stabile e il bacino di una funzione di Lyapunov sono la stessa cosa?
Grazie a tutti
Risposte
Il bacino della funzione di Liapunov non l'ho mai sentito!
Il bacino di attrazione di un punto asintoticamente stabile è l'insieme dei dati iniziali per l'ODE in esame tali che le traiettorie delle soluzioni passanti per essi tendono alla posizione di equilibrio asintotico.
Il bacino di attrazione di un punto asintoticamente stabile è l'insieme dei dati iniziali per l'ODE in esame tali che le traiettorie delle soluzioni passanti per essi tendono alla posizione di equilibrio asintotico.
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