Avrei un quesito da porvi..riguardante inf,sup,e successioni
Ciao a tutti..sono nuovo...ho appena finito l'esame di analisi..vi devo chiedere due cose.
1-sia $f$ definita e limitata su $[a,b]$.
esiste $(x_n) \subseteq [a,b]$ tale che $\lim_{n \to \infty}f(x_n)="sup "f(x)$.
Stabilire se è vero o falso.
io ho posto $x_n=1/n$ e $f(x)=0, AA x in [a.b]$, quindi ho messo vero. vorrei sapere cosa ne pensate.
2-stesse ipotesi di 1
se $"inf "f(x) < "sup "f(x)$ su $[a,b]$ è vero dire che $f(x)$ non risulta costante su $[a,b]$??io ho ipotizzato che $"inf "f(x)
ciaooooo..!!!!!
1-sia $f$ definita e limitata su $[a,b]$.
esiste $(x_n) \subseteq [a,b]$ tale che $\lim_{n \to \infty}f(x_n)="sup "f(x)$.
Stabilire se è vero o falso.
io ho posto $x_n=1/n$ e $f(x)=0, AA x in [a.b]$, quindi ho messo vero. vorrei sapere cosa ne pensate.
2-stesse ipotesi di 1
se $"inf "f(x) < "sup "f(x)$ su $[a,b]$ è vero dire che $f(x)$ non risulta costante su $[a,b]$??io ho ipotizzato che $"inf "f(x)
ciaooooo..!!!!!
Risposte
[mod="dissonance"]Ciao e benvenuto sul forum. Ti suggerisco di consultare questi due link:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html
In particolare ti chiedo, per favore, di modificare il titolo evitando il maiuscolo e le sfilze di punti esclamativi e scrivendo qualcosa che suggerisca il contenuto del topic. Ad esempio: "Inf e sup di funzioni limitate".[/mod]
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In particolare ti chiedo, per favore, di modificare il titolo evitando il maiuscolo e le sfilze di punti esclamativi e scrivendo qualcosa che suggerisca il contenuto del topic. Ad esempio: "Inf e sup di funzioni limitate".[/mod]
Ti chiedo un ultimo sforzo: scrivi le formule usando la sintassi di ASCIIMathML come spiegato nel primo dei due link di sopra. E' molto semplice e rende il tuo post MOLTO più leggibile.
spero di averlo reso un po piu comprensibile..
Ha ragione Gugo sulla prima.
La seconda é vero che non sia costante, ció deriva immediatamente dalle definizioni di estremo superiore ed inferiore.
infatti sup f(x) essendo maggiore di inf f(x) non é un minorante dell'insieme esiste quindi un elemento dell'insieme dei valori di f(x) minore di lui e maggiore o uguale ad inf(x), chiamalo x, questo x essendo minore di sup f(x) non é un maggiorante dell'insieme esiste quindi un elemento dell'insieme dei valori di f(x) maggiore di x e minore al piú uguale a sup f(x), chiamalo y ergo la funzione assumendo due valori x ed y non puó essere costante.
La seconda é vero che non sia costante, ció deriva immediatamente dalle definizioni di estremo superiore ed inferiore.
infatti sup f(x) essendo maggiore di inf f(x) non é un minorante dell'insieme esiste quindi un elemento dell'insieme dei valori di f(x) minore di lui e maggiore o uguale ad inf(x), chiamalo x, questo x essendo minore di sup f(x) non é un maggiorante dell'insieme esiste quindi un elemento dell'insieme dei valori di f(x) maggiore di x e minore al piú uguale a sup f(x), chiamalo y ergo la funzione assumendo due valori x ed y non puó essere costante.
Ho dato una lieve modificatina al post, così talucci può vedere come si scrive correttamente in MathML.
Ad ogni modo, la 1 è vera e si prova con le proprietà dell'estremo superiore.
Anche la 2 è vera (ammesso che la relazione tra estremi superiore ed inferiore sia davvero stretta) e si prova per assurdo.
Ad ogni modo, la 1 è vera e si prova con le proprietà dell'estremo superiore.
Anche la 2 è vera (ammesso che la relazione tra estremi superiore ed inferiore sia davvero stretta) e si prova per assurdo.
Per maggior chiarezza sul primo quesito, se questo estremo superiore é anche un massimo basta prendere una successione di punti tutti uguali a quello in cui la funzione assume questo massimo, altrimenti, se non é un massimo, é allora possibile considerare un intorno di ampiezza 1/n e prendere il punto di [a,b] a cui la funzione associa un valore la cui distanza dal sup f(x) é minore di 1/n, ponendo n=1,2,3,4... si arriva a determinare la successione di punti cercata.
La risposta é senz'altro vera, peró l'esempio che hai portato nel compito non é esaustivo a mio parere.
La risposta é senz'altro vera, peró l'esempio che hai portato nel compito non é esaustivo a mio parere.
"regim":
Per maggior chiarezza sul primo quesito, se questo estremo superiore é anche un massimo basta prendere una successione di punti tutti uguali a quello in cui la funzione assume questo massimo, altrimenti, se non é un massimo, é allora possibile considerare un intorno di ampiezza 1/n e prendere il punto di [a,b] a cui la funzione associa un valore la cui distanza dal sup f(x) é minore di 1/n, ponendo n=1,2,3,4... si arriva a determinare la successione di punti cercata.
La risposta é senz'altro vera, peró l'esempio che hai portato nel compito non é esaustivo a mio parere.
Perche non eusastiva?
ho definito una funzione f(x)=0,essendo costante si ha che inf f(x)=f(x)=supf(x)=0 su [a,b].A questo punto,essendo xn=1/n si ha $\lim_{n \to \infty}f(x_n)$=0 come anche il supf(x).
è proprio insnsata la giustificazione che ho dato?
Grazie per l'eventuale risposta.
Hai dimostrato la 1 in un caso banalissimo, mentre la traccia ti chiedeva di provare la tesi per una qualunque funzione $f:[a,b]\to RR$.
Quindi concordo con regim: la risposta, pur non essendo errata, è assolutamente parziale e ben lontana dall'essere esauriente.
Quindi concordo con regim: la risposta, pur non essendo errata, è assolutamente parziale e ben lontana dall'essere esauriente.
"Gugo82":
Hai dimostrato la 1 in un caso banalissimo, mentre la traccia ti chiedeva di provare la tesi per una qualunque funzione $f:[a,b]\to RR$.
Quindi concordo con regim: la risposta, pur non essendo errata, è assolutamente parziale e ben lontana dall'essere esauriente.
un mio amico ha scritto che la risposta è falsa portando come esempio la funzione di Dirichelet dicendo che qualsiasi successione trasformata da tale funzione non è regolare...che ne dite?
Cmq ho capito cosa volete dire,il fatto è che io ho dato un esempio invece di dimostrare che esiste tale successione.
Grazie per le risposte.!:D
"talucci":
un mio amico ha scritto che la risposta è falsa portando come esempio la funzione di Dirichelet dicendo che qualsiasi successione trasformata da tale funzione non è regolare...che ne dite?
Ha sbagliato grossolanamente. (Perchè?)
"talucci":
Cmq ho capito cosa volete dire,il fatto è che io ho dato un esempio invece di dimostrare che esiste tale successione.
Grazie per le risposte.!:D
Proprio così, bravo.
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