Avrei bisogno di una spiegazione

[Federico210]

Avrei bisogno della definizione di funzione localmente limitata e globalmente limitata.

Inoltre vorrei la dimostrazione che se una funzione è localmente limitata e definita su un compatto,allora è globalmente limitata.

Grazie in anticipo

[ficus2002]

Se $(X,tau)$ è uno spazio topologico e $f:X rightarrow RR$ è una funzione allora
1) $f$ è localmente limitata se per ogni $x in X$ esiste un intorno $U_x$ di $X$ e una costante positiva $M in R$ (dipendente eventualmente da $x$) tale che $|f(u)| 2) $f$ è globalmente limitata se esiste una costante positiva $M in RR$ tale che $|f(x)|
Per dimostrare che se $f:X rightarrow RR$ è localmente limitata e $X$ è compatto allora $f$ è globalmente limitata, procedi così:
Per ipotesi, per ogni $x in X$ esiste un intorno (che possiamo supporre aperto) $U_x$ e una costante positiva $M_x in R$ tale che $|f(u)| $X=cup _{x in X} U_x$
quindi ${U_x}_{x in X}$ è un ricoprimento aperto di $X$. Poichè $X$ è compatto, posso estrarre un sottoricoprimento finito, ossia esiste sottoinsieme finito ${x_n}_{n=1}^{N}$ tale che
$X=cup _{n=1}^{N} U_{x_n}$.
Se definisci $M=max_{1 leq n leq N} M_{x_n}$ allora per ogni $x in X$ è $|f(x)| Infatti $x in U_{x_i}$ per qualche $i$, quindi, $|f(x)| Di conseguenza, $f$ è limitata globalmente.

[Federico210]

thx