Autovalori e autofunzioni di $ hat(p)$ dello spazio di funzioni f(x) tali che f, $ hat(p)f in L_2[a,b] $

[Nick_931]

Ciao a tutti. Avrei bisogno di una mano nel capire come svolgere questo esercizio.
Dato l'operatore

$ hat(p) = -i d/dx $

agente sulla varietà lineare delle funzioni f(x) tali che f, $ hat(p)f in L_2[a,b] $

devo determinare autovalori e autofunzioni di $ hat(p)$ dello spazio di funzioni di cui sopra con condizioni periodiche f(a)=f(b)

Allora, so che in questo spazio l'operatore $ hat(p)$ è auto-aggiunto!
Per trovare autovalori e autofunzioni, prendo la matrice che rappresenta l'operatore è la applico a una qualsiasi funzione di quello spazio?

[gugo82]

"A occhio", direi che le autofunzioni di quella roba lì sono le funzioni dello spazio di Sobolev \(H^1(a,b)=W^{1,2}(a,b)\) tali che:
\[
\begin{cases}
-\imath\ f^\prime (x) = \lambda\ f(x)\\
f(a) = f(b)\; ,
\end{cases}
\]
no?

[Paolo902]

"Nick_93":
Allora, so che in questo spazio l'operatore $ hat(p)$ è auto-aggiunto!
Per trovare autovalori e autofunzioni, prendo la matrice che rappresenta l'operatore è la applico a una qualsiasi funzione di quello spazio?

Più che altro a me spaventa un po' l'uso della parola "matrice" in questo contesto...

[gugo82]

@ Paolo: Concordo. L'avevo notato anch'io prima, ma mi si è sfilato di mente quando ho scritto...

Tuttavia non posso fare a meno di notare che l'analogia tra operatori differenziali e operatori matriciali è stata frutto di feconde scoperte nei primi decenni dell'Analisi Funzionale; in particolare, i membri della scuola tedesca (i vari Hilbert, Schmidt, Fredholm, etc...) hanno costruito larga parte della Teoria degli Operatori Autoaggiunti attorno a teoremi spettrali quasi in tutto analoghi ai teoremi di decomposizione per le matrici simmetriche, proprio perché vedevano gli operatori differenziali come "matrici infinite".

[Nick_931]

Ok ci dovrei essere. Come ha già accennato gugo, risolvo per esempio

$ hat(p) psi= lambda psi$
$psi(-pi)=psi(pi) $

Cioè se lo studio nello spazio delle funzioni periodiche è un operatore autoaggiunto. In pratica ho un'equazione differenziale del primo ordine (con una costante moltiplicativa che nella risoluzione del problema agli autovalori si semplifica a destra e a sinistra)
E quindi cio che fisserà $\lambda$ sarà la condizione al bordo

Inoltre mi aspetto che, non essendo questo operatore limitato, anche lo spettro sarà illimitato.

$ psi(x,lambda)=e^{i lambda x} \quad \forall lambda in mathbb(C) $

imponendo le condizioni

$ e^{i lambda pi}=e^{-i lambda pi} \to e^{i 2 lambda pi}=1 \to lambda_n=n \quad ,n in Z $

e quindi le autofunzioni saranno

$ psi_n(x)=psi(x, lambda_n)=e^{i n x} $