Autovalore regolare
ho letto che un autovalore è regolare quando molteplicità algebrica = molteplicità geometrica.
Non riesco a capire cos'è la molteplicità geometrica.
mi serve sapere cos'è perchè per risolvere i sistemi di equazioni differenziali, quando viene fuori un autovalore con molteplicità 2 bisogna distinguere i due casi: regolare - non regolare. la formula della soluzione è poi diversa. Io però non so come distinguerlo perchè non so come identificare un autovalore regolare.
ad esempio se facendo $det (A- lambda*I)=0$ mi viene $(lambda - 1)^2 = 0$ ao che $1$ ha molteplicità algebrica 2. e quella geometrica dove la vedo?
potreste farmi un esempio pratico per piacere?
grazie mille
Non riesco a capire cos'è la molteplicità geometrica.
mi serve sapere cos'è perchè per risolvere i sistemi di equazioni differenziali, quando viene fuori un autovalore con molteplicità 2 bisogna distinguere i due casi: regolare - non regolare. la formula della soluzione è poi diversa. Io però non so come distinguerlo perchè non so come identificare un autovalore regolare.
ad esempio se facendo $det (A- lambda*I)=0$ mi viene $(lambda - 1)^2 = 0$ ao che $1$ ha molteplicità algebrica 2. e quella geometrica dove la vedo?
potreste farmi un esempio pratico per piacere?
grazie mille
Risposte
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione dell'autospazio relativo a quell'autovalore, cioè la dimensione dello spazio generato dagli autovettori relativi a $\lambda$. Si ha che la molteplicità geometrica è minore o uguale della molteplicità algebrica.
Provo a farti un esempio che riprenda il tuo caso:
sia $A=[[2,1],[-1,0]]$ che, se non ho sbagliato i calcoli, dovrebbe proprio avere polinomio caratteristico (cioè det(A-$\lambda$ I)) $(\lamba-1)^2$.
Perciò ha solo $1$ come autovalore di molteplicità algebrica 2.
Ora ne calcolo la molteplicità geometrica.
devo determinare i vettori $v$ realtivi a tale autovalore $\lambda$, cioè l'insieme dei $v$ tale che $Av=\lambda v$ e quindi nel nostro caso $Av=v$.
Ora scrivo $v$ come vettore $v=((x),(y))$.
perciò $Av=v$ diventa $[[2,1],[-1,0]]((x),(y))=((x),(y))$ e quindi, facendo i calcoli $((2x+y),(-x))=((x),(y))$
e quindi ottengo $\{(x=x),(-x=y):}$
Quindi x è libero di variare e y è fissato dal valore di x.
Perciò ho uno spazio di dimensione 1.
Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ che abbiamo trovato è 1, mentre la molteplicità algebrica è 2
Provo a farti un esempio che riprenda il tuo caso:
sia $A=[[2,1],[-1,0]]$ che, se non ho sbagliato i calcoli, dovrebbe proprio avere polinomio caratteristico (cioè det(A-$\lambda$ I)) $(\lamba-1)^2$.
Perciò ha solo $1$ come autovalore di molteplicità algebrica 2.
Ora ne calcolo la molteplicità geometrica.
devo determinare i vettori $v$ realtivi a tale autovalore $\lambda$, cioè l'insieme dei $v$ tale che $Av=\lambda v$ e quindi nel nostro caso $Av=v$.
Ora scrivo $v$ come vettore $v=((x),(y))$.
perciò $Av=v$ diventa $[[2,1],[-1,0]]((x),(y))=((x),(y))$ e quindi, facendo i calcoli $((2x+y),(-x))=((x),(y))$
e quindi ottengo $\{(x=x),(-x=y):}$
Quindi x è libero di variare e y è fissato dal valore di x.
Perciò ho uno spazio di dimensione 1.
Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ che abbiamo trovato è 1, mentre la molteplicità algebrica è 2
ora mi sembra di aver capito! cioè quando mi viene che solo uno è libero di variare a piacimento allora non è regolare
se invece tutti e due possono prendere i valori che vogliono allora è regolare
ma regolare si trova solo quando si ha un sistema del tipo
$x'= f(x)$
$y' = g(y)$
cioè quando ognuno dipende da sè e mai dall'altro?
se invece tutti e due possono prendere i valori che vogliono allora è regolare
ma regolare si trova solo quando si ha un sistema del tipo
$x'= f(x)$
$y' = g(y)$
cioè quando ognuno dipende da sè e mai dall'altro?
Nel caso di una matrice 2x2, se trovi che entrambe le coordinate x e y dell'autovettore v possono variare liberamente, allora l'autospazio relativo ha dimensione 2 e quindi l'autovalore è regolare.
Non capisco invece cosa intendi con la seconda parte della tua domanda?
Non capisco invece cosa intendi con la seconda parte della tua domanda?
si scusa, non mi sono espressa molto bene
ci riprovo
volevo capire se l'autovalore è regolare e quindi ci si trova in presenza di x e y che variano a piacimento, solo nel caso in cui la matrice è diagonale (? si chiama diagonale?) cioè un sistema come ad esempio
$x_(t+1)= 3x_t$
$y_(t+1)= 7y_t$
dove alla prima compare solo x e alla seconda equazione compare solo y... ma non sono molto sicura..
grazie mille!!!
ci riprovo
volevo capire se l'autovalore è regolare e quindi ci si trova in presenza di x e y che variano a piacimento, solo nel caso in cui la matrice è diagonale (? si chiama diagonale?) cioè un sistema come ad esempio
$x_(t+1)= 3x_t$
$y_(t+1)= 7y_t$
dove alla prima compare solo x e alla seconda equazione compare solo y... ma non sono molto sicura..
grazie mille!!!
Non direi che un autovalore è regolare solo se la matrice è diagonale.
Infatti se ho una matrice 2x2 con 2 autovalori distinti, allora ognuno di questi sarà regolare e, tuttavia, la matrice non è diagonale
Infatti se ho una matrice 2x2 con 2 autovalori distinti, allora ognuno di questi sarà regolare e, tuttavia, la matrice non è diagonale
è vero, hai ragione, non ci avevo pensato
potrei chiederti un esempio di matrice 2x2 con un autovalore con molteplicità 2 regolare? non riesco a trovarne nel libro che devo studiare
grazie!
potrei chiederti un esempio di matrice 2x2 con un autovalore con molteplicità 2 regolare? non riesco a trovarne nel libro che devo studiare
grazie!
Semplicissimo: basta prendere la matrice identica.
$I=((1,0),(0,1))$.
Ciao
$I=((1,0),(0,1))$.
Ciao
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