Attraverso le funzioni generatrici risolvere l'equazione di ricorrenza

[Gigin89]

Ciao a tutti!
sto incontrando delle difficoltà con questo esercizio e spero che riusciate ad aiutarmi!

$ { ( a_(n) =1+ a_(n-2) \ \ \ \ (n>= 2)),( a_0=0 \ \ \ \ a_1=1 ):} $

ho iniziato svolgendolo in questo modo:
$ sum_{n=2}^inftya_(n) x^n = sum_{n=2}^infty x^n + sum_{n=2}^inftya_(n-2)x^n $

adesso sistemando gli indici ecc sono a questo punto:
$ f(x)-x=1/(1-x) + x +1 + x^2f(x) $

ricavo f(x):
$ f(x)= (1/(1-x)+2x +1)/(1-x^2) $

e di conseguenza:
$ f(x)= (-2x^2+x+2)/((1-x)(1-x^2) $

da qua come proseguo? dovrei arrivare ad un punto con i fratti semplici ma non so come andare avanti!
spero in un vostro aiuto!! grazie a tutti!!

[Gigin89]

ragazzi sono riuscito ad arrivare a questo punto, dopo aver risolto i fratti semplici:
$ -7/(4(x-1)) + 1/(2(x-1)^2) - 1/(4(x+1)) $

adesso se procedo così è giusto?
$ -7/4sum_{n=0}^infty x^n + 1/2sum_{n=0}^infty(n+1)x^n - 1/4sum_{n=0}^infty-x^n $

[Gigin89]

Ragazzi provando a risolverlo sono arrivato a questo punto:
$ 1/4x^n(-7-(-1)^n+2n+2) $

che dite? è possibile? o sto sbagliando tutto?
grazie a tutti