Atroce dubbio sulle prorietà di e (Eulero e/o Nepero)

[Wolf_Teenay]

Allora, nel risolvere un esercizio di equazioni differenziali, mi è capitata la forma $e^{-log(sqrt(1+x^2))}$. Io so che $e^{log(sqrt(1+x^2))} = sqrt(1+x^2)$ per la proprietà che enuncia che $e$ elevato al logaritmo di qualcosa è uguale a quel qualcosa (non è un linguaggio molto matematico, ma rende l'idea). Ma c'è quel meno davanti al logaritmo che mi preoccupa.

Per come la deduco io :

$e^{-log(sqrt(1+x^2))} = -sqrt(1+x^2)$

Se così è, ma spero che mi smentiate, io avrei la formula totale di risoluzione sarebbe (posto $log(sqrt(1+x^2)) = A$ e $b_{(t)}=4*t$):

$y=e^A*[-5-int_0^xe^{-A_{(t)}}*b_{(t)}dt]$


$int_0^xe^{-log(sqrt(1+t^2))}*4t dt$ l'ho risolto come $-4*1/2*int_0^x(1+t^2)^{1/2} * 2tdt$ che mi viene $-4/3*(1+x^2)^{3/2} - 4/3*(2^{3/2})$


Andando a sostituire e risolvere

$y=(1+x^2)^{1/2}*[-5+4/3*(1+x^2)^{3/2} - 4/3*(2^{3/2})]$ che risolta mi verrebbe $y=-5*(1+x^2)^{1/2}+4/3*(1+x^2)^2-4/3*(2^2)$


Spero nelle smentite, perchè lo studio di questa funzione mi sembra troppo complicato per il tipo di esercizi svolti fino a qui, quindi immagino che ci sia qulcosa che non va...

[adaBTTLS1]

l'esponenziale non è mai negativo.
con le proprietà dei logaritmi, hai non l'opposto ma il reciproco: non $-sqrt(1+x^2)$ ma $1/(sqrt(1+x^2))$.
spero sia chiaro. ciao.

[Wolf_Teenay]

Chiaro e preciso. Grazie.

[adaBTTLS1]

prego!

[EsaliX]

Ho notato che molti non fanno caso al fatto quando la formula è espressa come esponenziale del logaritmo o viceversa, non si rendono conto di quanto sia facile manipolarla.
La stessa era manipolabile utilizzando le proprietà degli esponenziali al posto di quelle del logaritmo quindi per completezza le scrivo.

Nel prodotto degli esponenti $a^{b*c} = {a^b}^c$ e nella somma degli esponenti $a^{b+c} = a^b*a^c$

Quindi ovviamente il -1 a moltiplicare sarebbe diventato l' esponente perchè siamo nel caso del prodotto, cioè:

${e^{log{sqrt{1+x^2}}}}^-1 = {sqrt{1+x^2}}^-1 = 1/sqrt{1+x^2}$