Assolutamente integrabile Riemman->Lebesgue
Ma se una funzione è assolutamente integrabile secondo Riemman allora l'integrale di Riemman e Lebesgue coincidono?
GRAZIE
GRAZIE
Risposte
Sì.
PREGO
PREGO
Gugo ma visto che le cose le sai, leggendo diversi post tuoi sull'integrabilità di Lebesgue si capisce che sei uno dei pochi che la conosce a modo,perchè non mi togli anche il dubbio qui https://www.matematicamente.it/forum/mis ... 58564.html è una discussione al quale all'inizio avevi preso parte..
Se ti riferisci al confronto integrale di Riemann-Lebesgue c'è un bel teorema di caratterizzazione definitiva che dice quanto segue: $f : [a,b] \to \RR$ limitata è integrabile secondo Riemann se e solo se la misura di Lebesgue dell'insieme di discontinuità di $f$ è zero; in tal caso i due integrali coincidono.
In forza di questo risultato spesso si dice che l'integrale di Riemann va bene per funzioni "non troppo discontinue".
In forza di questo risultato spesso si dice che l'integrale di Riemann va bene per funzioni "non troppo discontinue".
"edge":
Ma se una funzione è assolutamente integrabile secondo Riemman allora l'integrale di Riemman e Lebesgue coincidono?
GRAZIE
stai attento xò che la condizione vale solo nell'altro senso...cioè se una funzione e lebesgue integrabile allora sei sicuro che sarà reiemann integrabile...invece non tutte le funzioni R-integrabili saranno di certo lebeg integrabili..tranne nel caso in cui capiti cioè che a detto luca.lussardi
"roby92100":Ma no, che dici? E allora a che servirebbe l'integrale di Lebesgue, se addirittura le funzioni integrabili fossero di meno rispetto a quelle integrabili alla Riemann?
stai attento xò che la condizione vale solo nell'altro senso...cioè se una funzione e lebesgue integrabile allora sei sicuro che sarà reiemann integrabile...invece non tutte le funzioni R-integrabili saranno di certo lebeg integrabili..tranne nel caso in cui capiti cioè che a detto luca.lussardi
L'utilità di questa nozione di integrale sta proprio nel fatto che funzioni non integrabili secondo Riemann sono invece integrabili secondo Lebesgue e questo porta a risultati di completezza per certi spazi di funzioni. Per l'analisi guadagnare risultati di completezza è fondamentale, se pensi che è proprio a questo che serve costruire i numeri reali a partire dai razionali; e infatti secondo Walter Rudin (Real and complex analysis, primo capitolo)
The passage from Riemann's theory of integration to that of Lebesgue is a process of completion. [...] It is of the same fundamental importance in analysis as is the construction of the real number system from the rationals.
Poi, una nota:
[mod="dissonance"]Ti ricordo che su questo forum c'è un regolamento (clic), dal quale traggo uno stralcio
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Non sono consentiti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.[/mod]
"dissonance":Ma no, che dici? E allora a che servirebbe l'integrale di Lebesgue, se addirittura le funzioni integrabili fossero di meno rispetto a quelle integrabili alla Riemann?
[quote="roby92100"]stai attento xò che la condizione vale solo nell'altro senso...cioè se una funzione e lebesgue integrabile allora sei sicuro che sarà reiemann integrabile...invece non tutte le funzioni R-integrabili saranno di certo lebeg integrabili..tranne nel caso in cui capiti cioè che a detto luca.lussardi
L'utilità di questa nozione di integrale sta proprio nel fatto che funzioni non integrabili secondo Riemann sono invece integrabili secondo Lebesgue e questo porta a risultati di completezza per certi spazi di funzioni. Per l'analisi guadagnare risultati di completezza è fondamentale, se pensi che è proprio a questo che serve costruire i numeri reali a partire dai razionali; e infatti secondo Walter Rudin (Real and complex analysis, primo capitolo)
The passage from Riemann's theory of integration to that of Lebesgue is a process of completion. [...] It is of the same fundamental importance in analysis as is the construction of the real number system from the rationals.
Poi, una nota:
[/quote]
si chiedo umilmente scusa non sò perché ma ho scritto il contrario di quello che volevo dire XDXD mi rimangio quello che ho detto e lo ripropongo al contrario nella mia mente avevo quello ma ho scritto altro
come seconda cosa se la nota relativa al regolamento del forum che impone di non scrivere termini abbreviati mi auguro tanto che non ti stia riferendo a me solamente per il xò e x la a che sono errori banali in quanto lavoro e sono costretto a scrivere velocemente
Per la questione sull'integrabilità, il discorso è in realtà leggermente più complicato: di sicuro sono integrabili secondo Lebesgue tutte le funzioni integrabili secondo Riemann in senso proprio, ovvero le funzioni limitate definite sugli intervalli limitati. Se ammettiamo integrali impropri esistono funzioni integrabili secondo Riemann ma non secondo Lebesgue: esempio classico
$f(x)=\frac{sin x}{x},\ x \in RR$
Sono comunque integrabili secondo Lebesgue tutte le funzioni assolutamente integrabili secondo Riemann. In effetti la nozione di integrabilità di Lebesgue è più che altro una nozione di assoluta integrabilità. Gli integrali come quello di $\frac{sin x}{x}$, che sono convergenti non assolutamente, fanno parte di una classe più "strana" ed è bene tenerli distinti dal ramo principale della teoria.
___________
Infine la questione grammaticale. Si, dicevo proprio a te. Io non trovo che gli errori di grammatica che hai fatto siano "banali", infatti sono roba da matita blu in seconda elementare. Sono sicuro che tu conosci bene la grammatica italiana, e che quegli errori sono delle semplici sviste o typos dovuti alla fretta: proprio per questo ti dico, piuttosto che postare in fretta, è meglio non postare proprio. Oltretutto guarda a quali errori matematici vai incontro, con il rischio di confondere le idee agli altri utenti e di andare incontro a sospensioni dal forum o ban. Non è obbligatorio postare sul forum, specialmente se per farlo devi violare il regolamento.
$f(x)=\frac{sin x}{x},\ x \in RR$
Sono comunque integrabili secondo Lebesgue tutte le funzioni assolutamente integrabili secondo Riemann. In effetti la nozione di integrabilità di Lebesgue è più che altro una nozione di assoluta integrabilità. Gli integrali come quello di $\frac{sin x}{x}$, che sono convergenti non assolutamente, fanno parte di una classe più "strana" ed è bene tenerli distinti dal ramo principale della teoria.
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Infine la questione grammaticale. Si, dicevo proprio a te. Io non trovo che gli errori di grammatica che hai fatto siano "banali", infatti sono roba da matita blu in seconda elementare. Sono sicuro che tu conosci bene la grammatica italiana, e che quegli errori sono delle semplici sviste o typos dovuti alla fretta: proprio per questo ti dico, piuttosto che postare in fretta, è meglio non postare proprio. Oltretutto guarda a quali errori matematici vai incontro, con il rischio di confondere le idee agli altri utenti e di andare incontro a sospensioni dal forum o ban. Non è obbligatorio postare sul forum, specialmente se per farlo devi violare il regolamento.
"dissonance":
Per la questione sull'integrabilità, il discorso è in realtà leggermente più complicato: di sicuro sono integrabili secondo Lebesgue tutte le funzioni integrabili secondo Riemann in senso proprio, ovvero le funzioni limitate definite sugli intervalli limitati. Se ammettiamo integrali impropri esistono funzioni integrabili secondo Riemann ma non secondo Lebesgue: esempio classico
$f(x)=\frac{sin x}{x},\ x \in RR$
Sono comunque integrabili secondo Lebesgue tutte le funzioni assolutamente integrabili secondo Riemann. In effetti la nozione di integrabilità di Lebesgue è più che altro una nozione di assoluta integrabilità. Gli integrali come quello di $\frac{sin x}{x}$, che sono convergenti non assolutamente, fanno parte di una classe più "strana" ed è bene tenerli distinti dal ramo principale della teoria.
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Infine la questione grammaticale. Si, dicevo proprio a te. Io non trovo che gli errori di grammatica che hai fatto siano "banali", infatti sono roba da matita blu in seconda elementare. Sono sicuro che tu conosci bene la grammatica italiana, e che quegli errori sono delle semplici sviste o typos dovuti alla fretta: proprio per questo ti dico, piuttosto che postare in fretta, è meglio non postare proprio. Oltretutto guarda a quali errori matematici vai incontro, con il rischio di confondere le idee agli altri utenti e di andare incontro a sospensioni dal forum o ban. Non è obbligatorio postare sul forum, specialmente se per farlo devi violare il regolamento.
nonostante tu sei il moderatore e io il neoiscritto sono sicuro che il regolamento di cui parli non si impegni a buttare fuori da un forum o da una discussione qualcuno che sbadatamente si scorda una h o che commette un qualsiasi altro errore grammaticale... quindi tu non sei nessuno per venire a dire me hai fatto un errore da scuola elementare e non credo neanche che tu ti possa minimamente permettere. Una questione è trovare un utente che non sa parlare l'italiano e compromette la comprensione delle discussioni e viene quindi di conseguenza avvisato di questo, un'altra questione è che un moderatore adesso se ne va in giro per le discussioni a cercare errori grammaticali delle persone e a minacciarli di aver trasgredito il regolamento quindi la prossima volta prima di farmi vedere una citazione del regolamento attiva un pò il cervello tu per primo
Se ti dà fastidio essere ripreso per errori grammaticali, cerca di non farne. Prima di premere invia, c'è accanto il tasto Anteprima. Controlla quanto hai scritto prima di procedere. Se lavori e hai fretta fai a meno di postare, qui, per quanto strano ti possa sembrare, vogliamo l'uso di un italiano corretto.
"Luca.Lussardi":
Se ti dà fastidio essere ripreso per errori grammaticali, cerca di non farne. Prima di premere invia, c'è accanto il tasto Anteprima. Controlla quanto hai scritto prima di procedere. Se lavori e hai fretta fai a meno di postare, qui, per quanto strano ti possa sembrare, vogliamo l'uso di un italiano corretto.
mi dispiace controbattere anche te ma avvisare una persona di avere una grammatica talmente scorretta da deviare la comprensione sarà sicuramente compito vostro e sarà sicuramente scritto nel regolamento. ma cercare un minimo errore grammaticale nelle discussioni e fare abuso di potere avvisando per un "h" che manca è proprio maleducazione...
io sarà pure ignorante ma all'utente dissonance manca proprio l'educazione quindi se devo scrivere con la paura di scordare un accento un apostrofo un h e rileggere piu volte quello che ho scritto perché semmai dovesse capitare avrò lui che minaccia di buttarmi fuori allora si i moderatori di questo forum sono tutti piu ignoranti di me e preferisco non scrivere piu su questo forum arrivederci
[mod="Steven"]Arrivederci a te.
Ora spero si possa tornare alla discussione aperta da edge, con cui mi scuso per questa divagazione.[/mod]
Ora spero si possa tornare alla discussione aperta da edge, con cui mi scuso per questa divagazione.[/mod]
Per quanto riguarda $(sen(x))/x$ perchè è integrabile secondo Riemman e non secondo Lebesgue?
Comunque invito Roby a non abbandonare il forum per una cosa di questo tipo.
In fondo un errore ogni tanto può capitare,magari potrebbero essere evitate abbreviazioni stile SMS.
Comunque invito alla peace and Love.
Comunque invito Roby a non abbandonare il forum per una cosa di questo tipo.
In fondo un errore ogni tanto può capitare,magari potrebbero essere evitate abbreviazioni stile SMS.
Comunque invito alla peace and Love.
La funzione [tex]$\frac{\sin x}{x}$[/tex] è integrabile secondo Riemann (ancorché in senso improprio) perchè esiste finito il limite [tex]$\lim_{r\to +\infty} \int_\pi^r \frac{\sin x}{x}\ \text{d} x$[/tex]; ciò non si può provare con metodi elementari, ma serve l'Analisi Complessa.
Invece, che la funzione non sia integrabile secondo Lebesgue si può provare in maniera abbastanza semplice: ricordato che una funzione è integrabile secondo Lebesgue se e solo se esiste finito l'itegrale del suo valore assoluto, si può mostrare che [tex]$\int_\pi^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x =+\infty$[/tex] semplicemente minorando l'integrando [tex]$|f(x)|$[/tex] con una funzione avente grafico a triangoli con vertici in [tex]$(k\pi ,0),\ (\tfrac{\pi}{2} +k\pi , |f(\tfrac{\pi}{2} +k\pi )|),\ ((k+1)\pi ,0)$[/tex] e provando che la somma delle aree dei triangoli è [tex]$=+\infty$[/tex].
Invece, che la funzione non sia integrabile secondo Lebesgue si può provare in maniera abbastanza semplice: ricordato che una funzione è integrabile secondo Lebesgue se e solo se esiste finito l'itegrale del suo valore assoluto, si può mostrare che [tex]$\int_\pi^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x =+\infty$[/tex] semplicemente minorando l'integrando [tex]$|f(x)|$[/tex] con una funzione avente grafico a triangoli con vertici in [tex]$(k\pi ,0),\ (\tfrac{\pi}{2} +k\pi , |f(\tfrac{\pi}{2} +k\pi )|),\ ((k+1)\pi ,0)$[/tex] e provando che la somma delle aree dei triangoli è [tex]$=+\infty$[/tex].
Scusate se lo riesumo ma allora ho un dubbio. Io ho un teorema di coincidenza tra i due integrali in questa forma:
$f: D->R$ limitata e Riemann integrabile su $D$, con $D$ Jordan misurabile. Allora $f$ è Lebesgue integrabile (cioè esiste finito l'integrale di $|f|$).
Ma se $D=RR$ ? l'esempio $(sin x)/x$ non fa cadere la baracca?
$f: D->R$ limitata e Riemann integrabile su $D$, con $D$ Jordan misurabile. Allora $f$ è Lebesgue integrabile (cioè esiste finito l'integrale di $|f|$).
Ma se $D=RR$ ? l'esempio $(sin x)/x$ non fa cadere la baracca?
Eh si. Secondo me devi aggiungere l'ipotesi: $D$ abbia misura finita.
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