Assoluta convergenza di una serie
Un esercizio diceva:
Sia [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} a_{n}[/tex] a termini non negativi e convergente.
Stabilire se [tex]$$ \sum _{n=0} ^{+ \infty} (-1)^{n} (e^{a_{n}} - a_{n} - 1) $$[/tex] è assolutamente convergente
Io ho fatto così:
Si dice che una serie è assolutamente convergente se la serie a termini non negativi [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} |a_{n}|[/tex] converge. Quindi devo stabilire se la serie [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} |(e^{a_{n}} - a_{n} - 1)|[/tex] è convergente.
Dal momento che [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} a_{n}[/tex] converge, allora [tex]\lim _{n \rightarrow + \infty} a_{n} = 0[/tex].
Quindi [tex]\lim _{n \rightarrow + \infty} |(e^{a_{n}} - a_{n} - 1)| = 0[/tex]. La serie a termini non negativi converge e, di conseguenza, converge assolutamente [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} (-1)^{n} (e^{a_{n}} - a_{n} - 1)[/tex].
Secondo voi è un ragionamento corretto o ho sbagliato tutto??
Grazie.
Sia [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} a_{n}[/tex] a termini non negativi e convergente.
Stabilire se [tex]$$ \sum _{n=0} ^{+ \infty} (-1)^{n} (e^{a_{n}} - a_{n} - 1) $$[/tex] è assolutamente convergente
Io ho fatto così:
Si dice che una serie è assolutamente convergente se la serie a termini non negativi [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} |a_{n}|[/tex] converge. Quindi devo stabilire se la serie [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} |(e^{a_{n}} - a_{n} - 1)|[/tex] è convergente.
Dal momento che [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} a_{n}[/tex] converge, allora [tex]\lim _{n \rightarrow + \infty} a_{n} = 0[/tex].
Quindi [tex]\lim _{n \rightarrow + \infty} |(e^{a_{n}} - a_{n} - 1)| = 0[/tex]. La serie a termini non negativi converge e, di conseguenza, converge assolutamente [tex]\sum _{n=0} ^{+ \infty} (-1)^{n} (e^{a_{n}} - a_{n} - 1)[/tex].
Secondo voi è un ragionamento corretto o ho sbagliato tutto??
Grazie.
Risposte
L'ultimo passaggio logico è errato, dato che $\lim_{n\to\infty}b_n=0$ NON implica $\sum_n b_n $ convergente. Il contrario invece è vero e infatti fai bene ad usarlo all'inizio.
Io osserverei che $|e^{a_n}-1-a_n|\leq a_n + |e^{a_n}-1|$ e che $|e^{a_n}-1|\sim a_n$.
Paola
Io osserverei che $|e^{a_n}-1-a_n|\leq a_n + |e^{a_n}-1|$ e che $|e^{a_n}-1|\sim a_n$.
Paola
Non mi è chiara l'equivalenza...in genere io la utilizzo per [tex]x \rightarrow 0[/tex].
Se la serie \(\sum a_n\) converge, la successione degli addendi cosa fa?
Ad ogni modo, basta usare l'approssimazione asintotica \(e^x-x-1\approx \frac{1}{2}\ x^2\) per stabilire che \(\sum |e^{a_n} -a_n-1|\) ha lo stesso carattere di \(\sum a_n^2\) e quindi concludere.
Ad ogni modo, basta usare l'approssimazione asintotica \(e^x-x-1\approx \frac{1}{2}\ x^2\) per stabilire che \(\sum |e^{a_n} -a_n-1|\) ha lo stesso carattere di \(\sum a_n^2\) e quindi concludere.
Il limite notevole è $\lim_{x\to 0} (e^x-1)/x=1$, in altre parole $e^x-1\sim x$ per $x\to 0$. Nel tuo caso operi semplicemente la sostituzione $x=a_n$.
Paola
Paola
Ok grazie mille!! 
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