Assioma di Dedekind (o di completezza), chiarimenti
Buonasera a tutti ragazzi, ho appena iniziato l'analisi matematica all'università e al momento stiamo affrontando delle lezioni introduttive. Dopo aver costruito l'insieme R ed aver verificato che non esiste in Q alcun numero tale che $(m/n)^2=2$ ci siamo domandati se tale numero esiste in R. Il professore ha dunque enunciato l'assioma di completezza e ci è stato detto che un teorema, conseguenza di quest'assioma, è il seguente:
Ip: sia a appartenente ad R, $a>0$ , n appartenente ad N ed $n>=x$
ts: $EE!$ x appartenente R ,$ x>0 : x^n= a$
Il professore ha poi aggiunto che un importante corollario è il seguente:
$AA a>0 EE x>0 : x^2=a$ e questo numero è proprio quello che indichiamo con radice quadrata di a, dunque possiamo dire che $ sqrt(2) $ esiste in R come conseguenza di questo corollario.
Tuttavia poiché si trattava di una lezione introduttiva non abbiamo né dimostrato il teorema (e non so se lo faremo) né il suo corollario. Mi ha colpito molto il corollario in quanto permette di affermare l'esistenza di tutte le radici quadrate positive in R. Volevo sapere dove potessi trovare una dimostrazione del teorema ed eventualmente capire come passare dal teorema al corollario. (Per inciso, di questo teorema non so neanche il nome quindi vi sarei grato se mi diceste anche questo ahahah)
Grazie mille in anticipo
Ip: sia a appartenente ad R, $a>0$ , n appartenente ad N ed $n>=x$
ts: $EE!$ x appartenente R ,$ x>0 : x^n= a$
Il professore ha poi aggiunto che un importante corollario è il seguente:
$AA a>0 EE x>0 : x^2=a$ e questo numero è proprio quello che indichiamo con radice quadrata di a, dunque possiamo dire che $ sqrt(2) $ esiste in R come conseguenza di questo corollario.
Tuttavia poiché si trattava di una lezione introduttiva non abbiamo né dimostrato il teorema (e non so se lo faremo) né il suo corollario. Mi ha colpito molto il corollario in quanto permette di affermare l'esistenza di tutte le radici quadrate positive in R. Volevo sapere dove potessi trovare una dimostrazione del teorema ed eventualmente capire come passare dal teorema al corollario. (Per inciso, di questo teorema non so neanche il nome quindi vi sarei grato se mi diceste anche questo ahahah)
Grazie mille in anticipo
Risposte
"Francio99":
Volevo sapere dove potessi trovare una dimostrazione del teorema ed eventualmente capire come passare dal teorema al corollario
È un risultato stra-comune, prova in un qualsiasi testo (dignitoso) di Analisi Matematica (mi vengono in mente il Prodi/il De Marco, ma credo sia praticamente ovunque) c:
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