Assioma della scelta e continuità per successioni in spazi metrici
Ciao. Ho un dubbio (ed è probabile che sia piuttosto stupido) sull'assioma della scelta. Posto in questa sezione, perché mi è venuto riguardo ad un esempio vicino all'analisi.
L'enunciato per la cui dimostrazione non sono sicuro della necessità di AC è il classico \( f \) è continua se e solo se \( f \) è continua per successioni. Mi spiego meglio.
Sia \( f\colon M_1\to M_2 \) una funzione di uno spazio metrico \( \left(M_1,d_1\right) \) in uno spazio \( \left(M_2,d_2\right) \). Allora \( f \) è continua se e solo se preserva i limiti di successioni convergenti, ossia se, data una successione \( \left(x_i\right)_{i\in\mathbb{N}} \) in \( M_1 \) convergente a \( x \), allora la successione degli \( f\left(x_i\right) \) converge a \( f(x) \) in \( M_2 \).
La diretta è banale; l'idea per il solo se è sempre stata quella di procedere per assurdo, assumendo la funzione non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Senza riscrivere la dimostrazione, mando qui.
Da quello che ci ho cavato (vedere anche il link al commento di Martin Sleziak al primo post), la cosa richiede l'assioma della scelta numerabile per famiglie di \( \mathbb{R} \).
Mi chiedevo se la stessa cosa valesse per uno spazio metrico qualunque, dato che di teoria degli insiemi non so nulla.
L'enunciato per la cui dimostrazione non sono sicuro della necessità di AC è il classico \( f \) è continua se e solo se \( f \) è continua per successioni. Mi spiego meglio.
Sia \( f\colon M_1\to M_2 \) una funzione di uno spazio metrico \( \left(M_1,d_1\right) \) in uno spazio \( \left(M_2,d_2\right) \). Allora \( f \) è continua se e solo se preserva i limiti di successioni convergenti, ossia se, data una successione \( \left(x_i\right)_{i\in\mathbb{N}} \) in \( M_1 \) convergente a \( x \), allora la successione degli \( f\left(x_i\right) \) converge a \( f(x) \) in \( M_2 \).
La diretta è banale; l'idea per il solo se è sempre stata quella di procedere per assurdo, assumendo la funzione non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Senza riscrivere la dimostrazione, mando qui.
Da quello che ci ho cavato (vedere anche il link al commento di Martin Sleziak al primo post), la cosa richiede l'assioma della scelta numerabile per famiglie di \( \mathbb{R} \).
Mi chiedevo se la stessa cosa valesse per uno spazio metrico qualunque, dato che di teoria degli insiemi non so nulla.
Risposte
"gabriella127":
Non dobbiamo scegliere niente!Dobbiamo dire solo che esiste (almeno ) un punto etc. etc. in ogni intorno.
Eh ma poi bisogna anche prenderli tutti insieme, sennò da soli non ce ne facciamo di nulla
@gabriella127
Magari mettendola giù così è più chiara. E' diverso dire
1. Esiste una successione \( \{A_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) di insiemi non vuoti.
2. Esiste una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) con la proprietà $x_n \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
La 1. non richiede AC, è un fatto. La 2. richiede AC. Detta ancora più precisamente la 2. dice che
Esiste una funzione \( f: \mathbb{N} \to \cup \bigl \{ A_n \mid n \in \mathbb{N} \} \) tale che $f(n) \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
Questo è precisamente l'assioma della scelta.
Puoi evitarlo solo se costruisci esplicitamente $f$.
Magari mettendola giù così è più chiara. E' diverso dire
1. Esiste una successione \( \{A_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) di insiemi non vuoti.
2. Esiste una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) con la proprietà $x_n \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
La 1. non richiede AC, è un fatto. La 2. richiede AC. Detta ancora più precisamente la 2. dice che
Esiste una funzione \( f: \mathbb{N} \to \cup \bigl \{ A_n \mid n \in \mathbb{N} \} \) tale che $f(n) \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
Questo è precisamente l'assioma della scelta.
Puoi evitarlo solo se costruisci esplicitamente $f$.
@Bremen: Esattamente.
Mi hai tolto il post dalle dita.
Mi hai tolto il post dalle dita.
"Bremen000":
E' diverso dire
1. Esiste una successione \( \{A_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) di insiemi non vuoti.
2. Esiste una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) con la proprietà $x_n \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
La 1. non richiede AC, è un fatto. La 2. richiede AC. Detta ancora più precisamente la 2. dice che
Esiste una funzione \( f: \mathbb{N} \to \cup \bigl \{ A_n \mid n \in \mathbb{N} \} \) tale che $f(n) \in A_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.
Questo è precisamente l'assioma della scelta.
Puoi evitarlo solo se costruisci esplicitamente $f$.
Otta, bremen ,gugo, grazie delle risposte, che mi hanno consentito di chiarirmi un po' la questione.
Le cose che dice Bremen(e anche otta e gugo) le ho presenti perfettamente, certo che poi bisogna 'mettere insieme' gli $x_n$ scelti per avere la successione, su quello non ci piove.
Avevo solo il dubbio, sul punto 2, che fosse effettivamente necessaria una funzione di scelta, per una questione di mera esistenza, non è che dobbiamo costruire o individuare una successione. Cioè l'esistenza di una cosa può essere dimostrata a prescindere da una sua costruzione (benché meramente teorica come in AC)
La risposta che ora mi dò è questa, che mi chiarisce la questione: dicendo che esiste la successione stiamo dicendo che il prodotto cartesiano degli $x_k$ contenuti negli $U_k$ non è vuoto. Stiamo quindi usando l'assioma moltiplicativo (il prodotto cartesiano di insiemi non vuoti è non vuoto). Se è equivalente all'assioma della scelta (nella sua forma con la funzione di scelta), come si dice quasi ovunque nei libri (anche se qualche libro, tipo Munkres mi ha insinuato qualche dubbio[nota]Munkres dà una diversa definizione di prodotto cartesiano generalizzato, senza usare le funzioni. E riporta la versione di AC senza funzione di scelta, valido per insiemi disgiunti. Quindi se gli insiemi sono disgiunti non servirebbe funzione di scelta. Però nel nostro caso gli intorni non sono disgiunti per cui per dire che il prodotto cartesiano è non vuoto serva la formulazione di AC con funzione di scelta.[/nota]), è vero, si usa AC (in quella forma), ( l'equivalenza dipende poi fal fatto che il prodotto cartesiano generalizzato viene definito praticamente tramite funzioni di scelta.)
Così mi sembra chiaro, detto così non stiamo 'costruendo' niente.
Quindi detto così, è vero, avete ragione voi, nel teorema serve AC.
Per quanto riguarda l'equivalenza delle due nozioni di continuità in effetti c'è un risultato sorprendente: per la continuità in un punto c'è bisogno di AC, per la continuità globale, cioè in ogni punto di $R$, AC non è necessario! Si può modificare la dimostrazione e farla senza AC!
Per questo risultato vi rimando a un lavoro che ho trovato in rete di Riccardo Dossena 'Osservazioni sull'assioma della scelta'. A un primo sguardo, mi pare che lì costruisca esplicitamente una funzione di scelta e quindi non usi AC.
Grazie ancora per i contributi, e grazie a Marco per i suoi e per avere sollevato la questione.
@Gabriella: eh si, quella della continuità globale è una cosa sorprendente, proprio ad essa mi riferivo nel mio post precedente.
Pensavo che la cosa fosse molto più immediata (questo era un esercizietto in un appendice di un libro di topologia; qualche mese fa avevo visto una cosa simile [proprio il "teorema ponte" in \( \mathbb{R} \) mi pare] e neanch'io ci avevo fatto caso). Grazie a chi ha partecipato alla discussione.
"dissonance":
@Gabriella: eh si, quella della continuità globale è una cosa sorprendente, proprio ad essa mi riferivo nel mio post precedente.
Eh s' dissonance, quella cosa mi ha proprio sorpreso, appena ho tempo voglio guardarmi la dimostrazione.
Grazie anche a te.
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