Assioma della scelta e continuità per successioni in spazi metrici
Ciao. Ho un dubbio (ed è probabile che sia piuttosto stupido) sull'assioma della scelta. Posto in questa sezione, perché mi è venuto riguardo ad un esempio vicino all'analisi.
L'enunciato per la cui dimostrazione non sono sicuro della necessità di AC è il classico \( f \) è continua se e solo se \( f \) è continua per successioni. Mi spiego meglio.
Sia \( f\colon M_1\to M_2 \) una funzione di uno spazio metrico \( \left(M_1,d_1\right) \) in uno spazio \( \left(M_2,d_2\right) \). Allora \( f \) è continua se e solo se preserva i limiti di successioni convergenti, ossia se, data una successione \( \left(x_i\right)_{i\in\mathbb{N}} \) in \( M_1 \) convergente a \( x \), allora la successione degli \( f\left(x_i\right) \) converge a \( f(x) \) in \( M_2 \).
La diretta è banale; l'idea per il solo se è sempre stata quella di procedere per assurdo, assumendo la funzione non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Senza riscrivere la dimostrazione, mando qui.
Da quello che ci ho cavato (vedere anche il link al commento di Martin Sleziak al primo post), la cosa richiede l'assioma della scelta numerabile per famiglie di \( \mathbb{R} \).
Mi chiedevo se la stessa cosa valesse per uno spazio metrico qualunque, dato che di teoria degli insiemi non so nulla.
L'enunciato per la cui dimostrazione non sono sicuro della necessità di AC è il classico \( f \) è continua se e solo se \( f \) è continua per successioni. Mi spiego meglio.
Sia \( f\colon M_1\to M_2 \) una funzione di uno spazio metrico \( \left(M_1,d_1\right) \) in uno spazio \( \left(M_2,d_2\right) \). Allora \( f \) è continua se e solo se preserva i limiti di successioni convergenti, ossia se, data una successione \( \left(x_i\right)_{i\in\mathbb{N}} \) in \( M_1 \) convergente a \( x \), allora la successione degli \( f\left(x_i\right) \) converge a \( f(x) \) in \( M_2 \).
La diretta è banale; l'idea per il solo se è sempre stata quella di procedere per assurdo, assumendo la funzione non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Senza riscrivere la dimostrazione, mando qui.
Da quello che ci ho cavato (vedere anche il link al commento di Martin Sleziak al primo post), la cosa richiede l'assioma della scelta numerabile per famiglie di \( \mathbb{R} \).
Mi chiedevo se la stessa cosa valesse per uno spazio metrico qualunque, dato che di teoria degli insiemi non so nulla.
Risposte
Se lo richiede \(\mathbb{R}\) lo richiede anche il caso più generico, altrimento neanche \(\mathbb{R}\) lo richiederebbe.
Ok. Allora, volendo scrivere senza omettere troppi dettagli la dimostrazione (perché ad ora non son troppo pratico di queste cose), dovrebbe venire una cosa tipo quanto segue.
Sia \( f \), per contronominale, non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Esiste quindi un \( \epsilon_0>0 \) tale per cui per ogni \( \delta=1/n \), dove \( n\in\mathbb{N} \), è possibile identificare un \( y \) che soddisfi contemporaneamente a \( d_1(y,x)<\delta \) e a \( d_2(f(y),f(x))\geqq\epsilon \). Per uno di questi \( \delta \), sia \( H_n \) l'insieme di tali \( y \), e consideriamo la famiglia (numerabile[nota]Ragion per cui - per questa precisa dimostrazione almeno - è sufficiente \( \text{AC}_\omega \) al posto di \( \text{AC} \).[/nota]) di insiemi non vuoti \( \left(H_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \): esiste dunque una funzione \( c \) (di scelta) da \( \mathbb{N} \) all'unione \( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}H_n \) tale che, per ogni \( n\in\mathbb{N} \) sia \( c(n)\in H_n \). (In altre parole, abbiamo \( d_1(c(n),x)<1/n \) per un \( n\in\mathbb{N} \)). Dico che tale successione converge a \( x \), ma che la sua immagine tramite \( f \) non converge a \( f(x) \). Perché, appunto, per un qualsivoglia \( \delta>0 \) esiste (per la prorpietà archimedea dei numeri reali) un \( N\in\mathbb{N} \) tale che \( 1/N<\delta \), ossia tale che per \( n\geqq N \) sia definitivamente \( d_1(c(n),x)<\delta \). Per lo stesso motivo, abbiamo che proprio per \( \epsilon_0 \) la successione \( \left(fc(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \) non converge a \( f(x) \): ché qualunque \( n\in\mathbb{N} \) si fissi, abbiamo la condizione descritta in apertura. \( \square \)
Sia \( f \), per contronominale, non continua in un punto \( x \) di \( M_1 \). Esiste quindi un \( \epsilon_0>0 \) tale per cui per ogni \( \delta=1/n \), dove \( n\in\mathbb{N} \), è possibile identificare un \( y \) che soddisfi contemporaneamente a \( d_1(y,x)<\delta \) e a \( d_2(f(y),f(x))\geqq\epsilon \). Per uno di questi \( \delta \), sia \( H_n \) l'insieme di tali \( y \), e consideriamo la famiglia (numerabile[nota]Ragion per cui - per questa precisa dimostrazione almeno - è sufficiente \( \text{AC}_\omega \) al posto di \( \text{AC} \).[/nota]) di insiemi non vuoti \( \left(H_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \): esiste dunque una funzione \( c \) (di scelta) da \( \mathbb{N} \) all'unione \( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}H_n \) tale che, per ogni \( n\in\mathbb{N} \) sia \( c(n)\in H_n \). (In altre parole, abbiamo \( d_1(c(n),x)<1/n \) per un \( n\in\mathbb{N} \)). Dico che tale successione converge a \( x \), ma che la sua immagine tramite \( f \) non converge a \( f(x) \). Perché, appunto, per un qualsivoglia \( \delta>0 \) esiste (per la prorpietà archimedea dei numeri reali) un \( N\in\mathbb{N} \) tale che \( 1/N<\delta \), ossia tale che per \( n\geqq N \) sia definitivamente \( d_1(c(n),x)<\delta \). Per lo stesso motivo, abbiamo che proprio per \( \epsilon_0 \) la successione \( \left(fc(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \) non converge a \( f(x) \): ché qualunque \( n\in\mathbb{N} \) si fissi, abbiamo la condizione descritta in apertura. \( \square \)
Ciao marco2132k.
Spero di avere capito bene il tuo dubbio, cioè la necessità dell'assioma della scelta per dimostrare il teorema '$f$ è continua se e solo se è continua per successioni' (per funzioni da $R$ a $R$ e per funzioni in spazi metrici qualunque).
Non ho mai sentito che fosse necessario l'assioma della scelta, e nelle dimostrazioni che ho visto, in analisi 1 per funzioni da $R$ a $R$, non c'è uso dell'assioma della scelta.
Il teorema a cui ti riferisci, per funzioni da $R$ a $R$, è:
'Una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ se se e solo se per ogni successione $(x_n) sub dom f$ con $x_n rarr x_0 $ risulta $f(x_n) rarr f(x_0) $ .'
La dimostrazione non è altro che il Teorema ponte per limiti, scritto per funzioni continue, cioè tenendo conto che $ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $.
La dimostrazione del teorema ponte non usa l'assioma della scelta, ne l'ho mai sentito citare a questo proposito.
L'assioma della scelta è necessario per dimostrazioni più 'nobili' (senza offesa per il teorema ponte), tipo che ogni spazio vettoriale ammette una base o per il Teorema di Hahn-Banach, ad esempio.
Per teorema ponte intendo il Teorema che lega i limiti di funzioni a quelli di successioni:
Teorema ponte. Sia $AsubR$ e $x_0$ un punto di accumulazione per $A$. Sia $f$ una funzione da $A$ a $R$. Allora si ha:
$ lim_(x -> x_0) f(x)=L $
se e solo se , per qualunque successione di numeri reali $(x_n)$, diversi da $x_0$, che tende a $x_0$, si ha
$ lim_(x -> oo) f(x_n)=L $ .
Il link di Martin Sleziak che hai inserito dice una cosa diversa dalla necessità dell'assioma della scelta per la dimostrazione del teorema, dice che è necessario per la dimostrazione dell'equivalenza delle proposizioni che cita. Penso che l'equivoco dipenda da questo.
Spero di avere capito bene il tuo dubbio, cioè la necessità dell'assioma della scelta per dimostrare il teorema '$f$ è continua se e solo se è continua per successioni' (per funzioni da $R$ a $R$ e per funzioni in spazi metrici qualunque).
Non ho mai sentito che fosse necessario l'assioma della scelta, e nelle dimostrazioni che ho visto, in analisi 1 per funzioni da $R$ a $R$, non c'è uso dell'assioma della scelta.
Il teorema a cui ti riferisci, per funzioni da $R$ a $R$, è:
'Una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ se se e solo se per ogni successione $(x_n) sub dom f$ con $x_n rarr x_0 $ risulta $f(x_n) rarr f(x_0) $ .'
La dimostrazione non è altro che il Teorema ponte per limiti, scritto per funzioni continue, cioè tenendo conto che $ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $.
La dimostrazione del teorema ponte non usa l'assioma della scelta, ne l'ho mai sentito citare a questo proposito.
L'assioma della scelta è necessario per dimostrazioni più 'nobili' (senza offesa per il teorema ponte), tipo che ogni spazio vettoriale ammette una base o per il Teorema di Hahn-Banach, ad esempio.
Per teorema ponte intendo il Teorema che lega i limiti di funzioni a quelli di successioni:
Teorema ponte. Sia $AsubR$ e $x_0$ un punto di accumulazione per $A$. Sia $f$ una funzione da $A$ a $R$. Allora si ha:
$ lim_(x -> x_0) f(x)=L $
se e solo se , per qualunque successione di numeri reali $(x_n)$, diversi da $x_0$, che tende a $x_0$, si ha
$ lim_(x -> oo) f(x_n)=L $ .
Il link di Martin Sleziak che hai inserito dice una cosa diversa dalla necessità dell'assioma della scelta per la dimostrazione del teorema, dice che è necessario per la dimostrazione dell'equivalenza delle proposizioni che cita. Penso che l'equivoco dipenda da questo.
@gabriella: Come dimostri il Teorema Ponte?
Il secondo link che ho citato mi interessava principalmente per aver affermato che l'assioma della scelta numerabile implica questo teorema. Come dici/te, questo è diverso da dire che l'assioma della scelta sia indispensabile per dimostrare quella cosa. Questo era il mio dubbio: serve per forza \( \text{AC} \) o uno dei suoi amici per provare la cosa? (È alla fine solo una mia curiosità).
Sicuramente almeno \( \text{AC}_\omega \) è necessario per completare la dimostrazione che ho fornito io qui: anche nella dimostrazione del "teorema ponte", la costruzione della successione come la faresti altrimenti? Nel caso che stiamo discutendo qui, in particolare, la non continuità della funzione \( f \) nel punto \( x \) di \( M_1 \) e la scelta di un \( \delta=1/n>0 \), per un \( n \) naturale, non individuano univocamente un \( y \) a cui associare \( n \).
Sicuramente almeno \( \text{AC}_\omega \) è necessario per completare la dimostrazione che ho fornito io qui: anche nella dimostrazione del "teorema ponte", la costruzione della successione come la faresti altrimenti? Nel caso che stiamo discutendo qui, in particolare, la non continuità della funzione \( f \) nel punto \( x \) di \( M_1 \) e la scelta di un \( \delta=1/n>0 \), per un \( n \) naturale, non individuano univocamente un \( y \) a cui associare \( n \).
Ricordo una dimostrazione in alcune dispense di Analisi 1 della Sapienza, professori D'ancona e Nesi.
Posso pure postarla quando ho il tempo di scriverla, ora non posso scrivere più di tanto.
Comunque, non mi risulta che ci sia assioma della scelta, c'è l'ho qui.
In una direzione la dimostrazione è diretta, nell'altra per assurdo.
Un'altra dimostrazione ricordo che sta in Marcelini Sbordone, se non ero.
Posso pure postarla quando ho il tempo di scriverla, ora non posso scrivere più di tanto.
Comunque, non mi risulta che ci sia assioma della scelta, c'è l'ho qui.
In una direzione la dimostrazione è diretta, nell'altra per assurdo.
Un'altra dimostrazione ricordo che sta in Marcelini Sbordone, se non ero.
Appunto…
L’idea è questa.
Per assurdo, suppongo che $f$ non abbia limite $L$ in $x_0$.
Fisso una successione d’intorni di $x_0$, diciamola $\{I_n\}$, decrescente rispetto all’inclusione e tale che \(\bigcap_{n=1}^\infty I_n = \{ x_0\}\); per l’ipotesi dell’assurdo, in ognuno degli $I_n$ cadono punti $x != x_0$ tali che $f(x_n) notin J$ con $J$ intorno di $L$ (fissato anche lui dall’ipotesi dell’assurdo).
La dimostrazione continua dicendo che in ogni $I_n$ si può scegliere uno degli elementi $x$ di cui sopra e chiamarlo $x_n$… Questo è AC.
L’idea è questa.
Per assurdo, suppongo che $f$ non abbia limite $L$ in $x_0$.
Fisso una successione d’intorni di $x_0$, diciamola $\{I_n\}$, decrescente rispetto all’inclusione e tale che \(\bigcap_{n=1}^\infty I_n = \{ x_0\}\); per l’ipotesi dell’assurdo, in ognuno degli $I_n$ cadono punti $x != x_0$ tali che $f(x_n) notin J$ con $J$ intorno di $L$ (fissato anche lui dall’ipotesi dell’assurdo).
La dimostrazione continua dicendo che in ogni $I_n$ si può scegliere uno degli elementi $x$ di cui sopra e chiamarlo $x_n$… Questo è AC.
Sì, nel tuo caso sì, ma la dimostrazione che ho io non è così.
Riguardo con più attenzione in un mometo di calma, mi posso sbagliare, ma non vedo a una lettura veloce AC. Appena ho tempo, oggi ho impegni, la posto.
Riguardo con più attenzione in un mometo di calma, mi posso sbagliare, ma non vedo a una lettura veloce AC. Appena ho tempo, oggi ho impegni, la posto.
Ne abbiamo parlato sul forum, varie volte. Ecco una discussione che ricordo con affetto perché fu una delle prime mie:
viewtopic.php?f=26&t=40255
Tra l'altro, in quel thread c'è anche, esattamente, la stessa domanda dell'OP, con una buona risposta di ViciousGoblin (un utente di altissimo livello che da qualche tempo sembra sparito dal forum, purtroppo).
NOTA: La discussione linkata è stata intensa. Riassumendo, questo è il post conclusivo. Inoltre, è emerso un interessante riferimento bibliografico: il libro "Axiom of choice", di Horst Herrlich.
viewtopic.php?f=26&t=40255
Tra l'altro, in quel thread c'è anche, esattamente, la stessa domanda dell'OP, con una buona risposta di ViciousGoblin (un utente di altissimo livello che da qualche tempo sembra sparito dal forum, purtroppo).
NOTA: La discussione linkata è stata intensa. Riassumendo, questo è il post conclusivo. Inoltre, è emerso un interessante riferimento bibliografico: il libro "Axiom of choice", di Horst Herrlich.
Ti ringrazio per i riferimenti, @dissonance.
Credo poi che per circoscrivere la cosa a livello del testo di Herrlich siano necessarie conoscenze un poco superiori rispetto a quelle che possiedo ora (specialmente in teoria degli insiemi, di cui non so proprio nulla, e in topologia).
Credo poi che per circoscrivere la cosa a livello del testo di Herrlich siano necessarie conoscenze un poco superiori rispetto a quelle che possiedo ora (specialmente in teoria degli insiemi, di cui non so proprio nulla, e in topologia).
Ma infatti non ti dico di metterti a studiare quel libro, figuriamoci. Però prova a dare una occhiata al capitolo "disasters in analysis", così, per curiosità. Parla diffusamente proprio della questione che sollevi qui.
Per esempio, mi pare di avere visto una cosa sorprendente: senza assioma della scelta, è vero che una funzione sequenzialmente continua su TUTTO \(\mathbb R\) è ancora continua, ma esistono funzioni che sono sequenzialmente continue in un punto solo senza essere topologicamente continue nello stesso.
Sono cose strane (curiosità, più che altro, a meno che uno non si occupi proprio di questo argomento).
Per esempio, mi pare di avere visto una cosa sorprendente: senza assioma della scelta, è vero che una funzione sequenzialmente continua su TUTTO \(\mathbb R\) è ancora continua, ma esistono funzioni che sono sequenzialmente continue in un punto solo senza essere topologicamente continue nello stesso.
Sono cose strane (curiosità, più che altro, a meno che uno non si occupi proprio di questo argomento).
Scrivo una dimostrazione del Teorema ponte, anche se mi pare equivalente a quella di gugo e a quella a cui accennava marco, e poi vi dico perché continuo a non essere convinta al 100% del fatto che si usi AC.
Riscrivo, per chiarezza, il teorema, e dimostro solo la parte per assurdo che è quella 'incriminata'.
Teorema ponte. Sia $AsubR$ e $c$ punto di accumulazione per $A$.
Allora si ha
$(1)$ $ lim_(x -> c)f(x) = L $
se e solo se, per qualunque successione di numeri reali $(x_n)$, diversi da $c$, che tende a $c$, si ha;
$(2)$ $ lim_(x -> oo)f(x_n) = L $ .
Dimostrazione. $(2) rArr (1)$
Procediamo per assurdo, o meglio, dimostriamo che se non vale la $(1)$ non può valere neanche la $(2)$.
Supponiamo che la $(1)$ sia falsa e mostriamo che allora si può trovare una successione che non soddisfa la condizione $(2)$.
Dire che la $(1)$ è falsa vuole dire che:
$ EE epsilon _0> 0 $ tale che per ogni $ delta >0 $ si può trovare un punto $x$ di $A$ con le proprietà
$x in (c-delta, c+delta ) $ e $|f(x)-L|>= epsilon _0 $ .
A questo punto è semplice trovare una successione che viola la $(2)$.
Pongo $ delta =1/n $ . Ottengo almeno un punto $ x_n in(c-1/n,c+1/n)subA $ tale che $ |f(x_n)-L|>=epsilon _0 $.
Ho ottenuto così una successione $(x_n)$ di elementi di $A$ che tende a $c$, e $f(x_n)$ non tende a $L$ perché $ |f(x_n)-L|>=epsilon _o $ per tutti gli $n$. $ square $
Perché non sono convinta che la dimostazione usi l'assioma della scelta? Perché mi sembra che non ci sia nessuna scelta. Mi spiego.
E' vero che stiamo stabilendo un insieme (infinito) di intorni di $c$ del tipo
$U_n =(c-1/n, c+1/n)$
e stiamo dicendo che esiste (almeno) una successione $(x_n)$ con $x_nin U_n$.
Ma stiamo 'costruendo' una successione scegliendo gli $x_n$ tra quelli possibili, e quindi scegliendo una successione, tra le varie possibili che contraddicono l'ipotesi?
Secondo me no, non stiamo scegliendo gli $x_n$, stiamo solo affermando che esiste almeno una successione di $x_n$ che porta a contraddire l'ipotesi.
Se di successioni del genere poi ne esistono molte tanto meglio, avremo molti esempi che contraddicono l'ipotesi, non è che dobbiamo scegliere tra questi. E' solo grasso che cola...
Sembra un questione un po' scivolosetta, ma secondo me la distinzione tra affermazioni di esistenza o fare una scelta ha senso e va mantenuta.
Ho guardato con interesse il topic suggerito da dissonance.
In effetti sembra che Vicious Goblin nel suo primo post dica una cosa simile, e dissonance è d'accordo, poi Viciuos Goblin ci ripensa, poi sembra che ci ri-ripensa.
Riporto il suo 'esempio stupido' dell'ultimo suo post, perché è tutt'altro che stupido..
Scrive Vicious Goblin:
"Esempio stupido. l'affermazione
$ AA n(U_N!= O/ )rArr (EE x:epsilon U_n) $
usa l'AC? A intuito no."
Anche a me sembra di no.
Secondo me è un esempio chiaro e carino di affermazione di esistenza (non c'è scelta).
Per il resto anche io ho visto da qualche parte il fatto che fu trovato un modello di ZF che contiene una funzione reale sequenzialmente continua ma non continua, per cui l'equivalenza delle due definizioni di continuità non è deducibile da ZF ma da ZF +AC.
Ma non ho idea di cosa si tratti e perché sia così.
Riscrivo, per chiarezza, il teorema, e dimostro solo la parte per assurdo che è quella 'incriminata'.
Teorema ponte. Sia $AsubR$ e $c$ punto di accumulazione per $A$.
Allora si ha
$(1)$ $ lim_(x -> c)f(x) = L $
se e solo se, per qualunque successione di numeri reali $(x_n)$, diversi da $c$, che tende a $c$, si ha;
$(2)$ $ lim_(x -> oo)f(x_n) = L $ .
Dimostrazione. $(2) rArr (1)$
Procediamo per assurdo, o meglio, dimostriamo che se non vale la $(1)$ non può valere neanche la $(2)$.
Supponiamo che la $(1)$ sia falsa e mostriamo che allora si può trovare una successione che non soddisfa la condizione $(2)$.
Dire che la $(1)$ è falsa vuole dire che:
$ EE epsilon _0> 0 $ tale che per ogni $ delta >0 $ si può trovare un punto $x$ di $A$ con le proprietà
$x in (c-delta, c+delta ) $ e $|f(x)-L|>= epsilon _0 $ .
A questo punto è semplice trovare una successione che viola la $(2)$.
Pongo $ delta =1/n $ . Ottengo almeno un punto $ x_n in(c-1/n,c+1/n)subA $ tale che $ |f(x_n)-L|>=epsilon _0 $.
Ho ottenuto così una successione $(x_n)$ di elementi di $A$ che tende a $c$, e $f(x_n)$ non tende a $L$ perché $ |f(x_n)-L|>=epsilon _o $ per tutti gli $n$. $ square $
Perché non sono convinta che la dimostazione usi l'assioma della scelta? Perché mi sembra che non ci sia nessuna scelta. Mi spiego.
E' vero che stiamo stabilendo un insieme (infinito) di intorni di $c$ del tipo
$U_n =(c-1/n, c+1/n)$
e stiamo dicendo che esiste (almeno) una successione $(x_n)$ con $x_nin U_n$.
Ma stiamo 'costruendo' una successione scegliendo gli $x_n$ tra quelli possibili, e quindi scegliendo una successione, tra le varie possibili che contraddicono l'ipotesi?
Secondo me no, non stiamo scegliendo gli $x_n$, stiamo solo affermando che esiste almeno una successione di $x_n$ che porta a contraddire l'ipotesi.
Se di successioni del genere poi ne esistono molte tanto meglio, avremo molti esempi che contraddicono l'ipotesi, non è che dobbiamo scegliere tra questi. E' solo grasso che cola...
Sembra un questione un po' scivolosetta, ma secondo me la distinzione tra affermazioni di esistenza o fare una scelta ha senso e va mantenuta.
Ho guardato con interesse il topic suggerito da dissonance.
In effetti sembra che Vicious Goblin nel suo primo post dica una cosa simile, e dissonance è d'accordo, poi Viciuos Goblin ci ripensa, poi sembra che ci ri-ripensa.
Riporto il suo 'esempio stupido' dell'ultimo suo post, perché è tutt'altro che stupido..
Scrive Vicious Goblin:
"Esempio stupido. l'affermazione
$ AA n(U_N!= O/ )rArr (EE x:epsilon U_n) $
usa l'AC? A intuito no."
Anche a me sembra di no.
Secondo me è un esempio chiaro e carino di affermazione di esistenza (non c'è scelta).
Per il resto anche io ho visto da qualche parte il fatto che fu trovato un modello di ZF che contiene una funzione reale sequenzialmente continua ma non continua, per cui l'equivalenza delle due definizioni di continuità non è deducibile da ZF ma da ZF +AC.
Ma non ho idea di cosa si tratti e perché sia così.
@gabriella: È esattamente la dimostrazione che intendevo io, solo che l’avevo riscritta in modo più generale.
Ad ogni modo, in ogni $U_n$ possono esistere infiniti punti $bar(x)$ tali che $|f(bar(x)) - l| >= epsilon_0$, quindi si pone il problema di come scegliere $x_n$.
Qui entra AC, se non erro.
@dissonance: Grazie per aver recuperato quella discussione… VG ci manca.
Ad ogni modo, in ogni $U_n$ possono esistere infiniti punti $bar(x)$ tali che $|f(bar(x)) - l| >= epsilon_0$, quindi si pone il problema di come scegliere $x_n$.
Qui entra AC, se non erro.
@dissonance: Grazie per aver recuperato quella discussione… VG ci manca.
Gugo, sì, la dimostrazione è la stessa e capisco quello che dici. Ma resto dell'idea, se puoi leggi di nuovo il mio post ultimo, che non c'è niente da scegliere.
Continuo a pensare che AC non ci sia, non riesco a convincermi del contrario. E' solo in ballo un problema di esistenza di una successione opportuna per la dimostrazione, ma una volta assodato che ne esiste una o più, non dobbiamo scegliere niente, non è che dobbiamo dire 'scelgo questo $x_n$ o quest'altro.
Comunque ci ripenserò.
Continuo a pensare che AC non ci sia, non riesco a convincermi del contrario. E' solo in ballo un problema di esistenza di una successione opportuna per la dimostrazione, ma una volta assodato che ne esiste una o più, non dobbiamo scegliere niente, non è che dobbiamo dire 'scelgo questo $x_n$ o quest'altro.
Comunque ci ripenserò.
Provo a formulare diversamente il discorso e la parte incriminata della dimostrazione di @gabriella217. Per ogni \( n\in\mathbb{N} \) esiste almeno un \( y \) nell'intervallo \( \left(c-1/n,c+1/n\right) \), con lo stesso significato dei simboli del post precedente. Qui
\[
f\colon\mathbb{N}\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(c-1/n,c+1/n\right)
\] tale che per ogni \( n\in\mathbb{N} \) sia \( f(n)\in\left(c-1/n,c+1/n\right) \). Dire che esiste una funzione del genere equivale al fatto che il prodotto \( \prod_{n\in\omega}\left(c-1/n,c+1/n\right) \) non sia vuoto: altro modo per chiamare \( \text{AC}_\omega \), sempre se non dico cavolate...
Quindi, dato che in base a quello che sento dire l'assioma della scelta e l'assioma della scelta numerabile non si cavano dai soli assiomi di ZF, ivi l'esistenza di questa successione non dovrebbe essere derivabile. Mi scuso per le eventuali imprecisioni di questo passaggio.
D'altronde ho appena controllato (velocemente, come velocemente ho letto il prosieguo di questo post) le dispense di Acquistapace e, pur non menzionando mai in quei fogli nemmeno l'esistenza dell'assioma della scelta, la dimostrazione è la medesima.
"gabriella127":dire che esiste almeno una successione di tali \( y \) significa che esiste una funzione
Ho ottenuto così una successione $(x_n)$ di elementi di $A$ che tende a $c$, e $f(x_n)$ non tende a $L$ perché $|f(x_n)−L|≥ε_o$ per tutti gli $n$.
\[
f\colon\mathbb{N}\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(c-1/n,c+1/n\right)
\] tale che per ogni \( n\in\mathbb{N} \) sia \( f(n)\in\left(c-1/n,c+1/n\right) \). Dire che esiste una funzione del genere equivale al fatto che il prodotto \( \prod_{n\in\omega}\left(c-1/n,c+1/n\right) \) non sia vuoto: altro modo per chiamare \( \text{AC}_\omega \), sempre se non dico cavolate...
Quindi, dato che in base a quello che sento dire l'assioma della scelta e l'assioma della scelta numerabile non si cavano dai soli assiomi di ZF, ivi l'esistenza di questa successione non dovrebbe essere derivabile. Mi scuso per le eventuali imprecisioni di questo passaggio.
D'altronde ho appena controllato (velocemente, come velocemente ho letto il prosieguo di questo post) le dispense di Acquistapace e, pur non menzionando mai in quei fogli nemmeno l'esistenza dell'assioma della scelta, la dimostrazione è la medesima.
"marco2132k":dire che esiste almeno una successione di tali \( y \) significa che esiste una funzione
Provo a formulare diversamente il discorso e la parte incriminata della dimostrazione di @gabriella217. Per ogni \( n\in\mathbb{N} \) esiste almeno un \( y \) nell'intervallo \( \left(c-1/n,c+1/n\right) \), con lo stesso significato dei simboli del post precedente. Qui [quote="gabriella127"]Ho ottenuto così una successione $(x_n)$ di elementi di $A$ che tende a $c$, e $f(x_n)$ non tende a $L$ perché $|f(x_n)−L|≥ε_o$ per tutti gli $n$.
\[
f\colon\mathbb{N}\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(c-1/n,c+1/n\right)
\] tale che per ogni \( n\in\mathbb{N} \) sia \( f(n)\in\left(c-1/n,c+1/n\right) \). Dire che esiste una funzione del genere equivale al fatto che il prodotto \( \prod_{n\in\omega}\left(c-1/n,c+1/n\right) \) non sia vuoto: altro modo per chiamare \( \text{AC}_\omega \), sempre se non dico cavolate...
[/quote]
Grazie della risposta.
Provo a riformulare in poche parole quello che intendo.
Nella dimostrazione del Teorema ponte affermiamo solo l'esistenza di una successione che contraddice l'ipotesi, non sappiamo quale.
Non è che la stiamo individuando scegliendo gli $x_k$.
Se invece ne dovessimo 'costruire', individuarne, una specifica, dovremmo scegliere gli $x_k$, e allora entrerebbe in ballo l'AC.
Quindi, secondo me, la funzione di scelta che tu hai indicato non serve a mostrare l'esistenza di una successione che contraddice l'ipotesi, ma solo a costruirne, eventualmente, una specifica (cosa che nel teorema non si fa).
No, è all'incontrario, se si fa una scelta esplicita possiamo fare a meno dell'assioma della scelta, mentre se non si sa come prenderli questi elementi della successione bisogna farci riferimento (alla sua versione numerabile).
Certo Otta, ma questa è un'altra questione, quando si sceglie. Se abbiamo già una funzione di scelta, cioè un criterio di scelta, l'assioma della scelta non serve. Se si deve scegliere 'a caso', non si sa come, c'è bisogno dell'assioma.
Ma il punto che ho sottolineato è che qui, nella dimostrazione del Teorema ponte,
non c'è nessuna scelta, stiamo solo mostrando ll'esistenza di una successione.
Non stiamo scegliendo niente.
Ma il punto che ho sottolineato è che qui, nella dimostrazione del Teorema ponte,
non c'è nessuna scelta, stiamo solo mostrando ll'esistenza di una successione.
Non stiamo scegliendo niente.
Eh invece si, dobbiamo scegliere un elemento da ogni intorno per avere almeno una successione.
Non dobbiamo scegliere niente! 
Dobbiamo dire solo che esiste (almeno ) un punto etc. etc. in ogni intorno.
Secondo me la questione dipende anche da equivoci terminologici.
Ho volutamente evitato, nella dimostrazione che ho postato, parole come 'costruiamo', 'prendiamo', che possono generare equivoci, fanno pensare che stiamo scegliendo qualcosa.
Forse anche la parola 'otteniamo' che ho usato è meglio evitarla.
Se riformulassimo la dimostrazione usando solo espressioni del tipo 'mostriamo che esiste', 'quindi esiste', forse sarebbe più chiaro.
Dobbiamo dire solo che esiste (almeno ) un punto etc. etc. in ogni intorno.Secondo me la questione dipende anche da equivoci terminologici.
Ho volutamente evitato, nella dimostrazione che ho postato, parole come 'costruiamo', 'prendiamo', che possono generare equivoci, fanno pensare che stiamo scegliendo qualcosa.
Forse anche la parola 'otteniamo' che ho usato è meglio evitarla.
Se riformulassimo la dimostrazione usando solo espressioni del tipo 'mostriamo che esiste', 'quindi esiste', forse sarebbe più chiaro.
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