Assente un quantificatore in un teorema che lega il limite di una funzione e la sua "estensione continua"

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
leggevo un testo di analisi in particolare questo teorema:

" Teorema 4.3.17: Siano \( f:A \to \mathbb{R}\), con \( A \subseteq \mathbb{R} \), e \( x_0 \) un punto di accumulazione per \(A \). Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
\(i\)) \( l= \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \)
\(ii\)) \(\tilde{f} =\begin{cases} f(x), & \mbox{se } x \in A-\{x_0\}\\l, & \mbox{se } x \in \{x_0\}
\end{cases} \) è continua in \( x_0\) "

nel teorema secondo me manca un quantificatore per \( l \), sbaglio o no? Se non sbaglio, il quantificatore è universale?

Ringrazio anticipatamente!

Cordiali saluti

P.S.=Nel libro la funzione \( \tilde{f} \) è "estensione continua" di \( f \)...

[ciampax]

No, quello che afferma il teorema è che se esiste un limite finito (per cui $l\ne \infty$) per $f$ nel punto $x_0$ (eventualmente punto in cui la funzione non risulti definita), allora la funzione $\tilde{f}$, che viene detta estensione per continuità di $f$ nel punto $x_0$ risulta una funzione continua in tale punto.

Questo è il caso di quella che, comunemente, viene definita discontinuità eliminabile o di terza specie. Se potessi ridefinire la funzione $f$ per qualsiasi valore di $l$ vedi da te che, tra le altre cose, non avresti neanche una funzione, in quanto la $\tilde{f}$ nel punto $x_0$ potrebbe assumere più di un solo valore.

[garnak.olegovitc1]

@ciampax,

"ciampax":No, quello che afferma il teorema è che se esiste un limite finito (per cui $l\ne \infty$) per $f$ nel punto $x_0$ (eventualmente punto in cui la funzione non risulti definita), allora la funzione $\tilde{f}$, che viene detta estensione per continuità di $f$ nel punto $x_0$ risulta una funzione continua in tale punto.

Questo è il caso di quella che, comunemente, viene definita discontinuità eliminabile o di terza specie. Se potessi ridefinire la funzione $f$ per qualsiasi valore di $l$ vedi da te che, tra le altre cose, non avresti neanche una funzione, in quanto la $\tilde{f}$ nel punto $x_0$ potrebbe assumere più di un solo valore.

ok, ergo il quantificatore è esistenziale!?

Saluti

[ciampax]

Se proprio lo vuoi usare. Ma anche scritto così, non c'è problema di fraintendimento.

[Epimenide93]

A volte si usa premettere nella \( i) \) la locuzione "esiste finito", intendendo \( \exists l \in \mathbb{R} \) per escludere esplicitamente i casi in cui \( l \) non esiste in \( \mathbb{R} \), ma in qualche sua compattificazione "canonica" sì.