Aspetti matematici del $\mathbf{B}$ di solenoide ideale
Il mio testo di fisica, il Gettys, dimostra che il campo magnetico sull'asse di un solenoide, nelle cui spire, di cui ve ne sono $n$ all'unità di lunghezza, circola una corrente di intensità $I$, è concorde con il momento di dipolo magnetico delle spire e ha modulo $\mu_0 nI$ utilizzando il fatto che, come si calcola facilmente dalla legge di Biot-Savart, il campo magnetico sull'asse di una spira di raggio $R$ e momento di dipolo magnetico $\mathbf{m}$ (con \(\|\mathbf{m}\|=I\pi R^2\)) è, ad una distanza $d$ dal suo centro,$$\frac{\mu_0\mathbf{m}}{2\pi (d^2+R^2)^{3/2}}.$$
Considerando ognuna delle infinite spire del solenoide percorsa da una "corrente infinitesima" $nI ds$ il risultato cercato è fornito infatti dall'integrale $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mu_0nIR^2}{2((x-s)^2+R^2)^{3/2}}ds.$$
Per un solenoide ideale il mio testo dice però anche che il campo è costante al suo interno e nullo all'esterno.
Questi due risultati sono ottenibili matematicamente a partire da tale modellizzazione del solenoide come unione di infinite spire percorse da una corrente di "intensità $nI ds$" oppure è semplicemente per definizione che si considera tale il campo magnetico e, se invece lo calcolassimo seguendo tale modello, risulterebbe variabile all'interno o non nullo all'esterno?
Grazie per ogni risposta!
P.S.: Chiedo qui perché l'approccio usato in fisica tende ad usare considerazioni di natura intuitiva.
Considerando ognuna delle infinite spire del solenoide percorsa da una "corrente infinitesima" $nI ds$ il risultato cercato è fornito infatti dall'integrale $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mu_0nIR^2}{2((x-s)^2+R^2)^{3/2}}ds.$$
Per un solenoide ideale il mio testo dice però anche che il campo è costante al suo interno e nullo all'esterno.
Questi due risultati sono ottenibili matematicamente a partire da tale modellizzazione del solenoide come unione di infinite spire percorse da una corrente di "intensità $nI ds$" oppure è semplicemente per definizione che si considera tale il campo magnetico e, se invece lo calcolassimo seguendo tale modello, risulterebbe variabile all'interno o non nullo all'esterno?
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P.S.: Chiedo qui perché l'approccio usato in fisica tende ad usare considerazioni di natura intuitiva.
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