Aspetti fondazionali in analisi o qualcosa del genere (successioni)
Ciao a tutti,
iniziato da poco il mio studio in analisi 1 e trovo giá alcuni problemi o strane cose o non so come come chiamarle, spero di avere una qualche delucidazione. Prendiamo l´insieme dei naturali \(\Bbb{N}\) e da esso tutti gli altri insiemi numerici costruiti come insiemi quoziente sino ad \(\Bbb{R}\) il quale viene intesto come insieme delle sezioni di Dedekind su \(\Bbb{Q}\), e su tutti questi insiemi posso definire operazioni e ordini. La mia questione é questa, si definisce in tutti i testi di analisi una successione a valori in \(\Bbb{R}\) una qualunque funzione \(F\in \Bbb{R}^\Bbb{N}\) ergo in linee generali, facendo fede alla definizioni di funzione, un \(F \subseteq (\Bbb{N} \times \Bbb{R})\) che soddisfa inoltre la proprietá di univocitá e ... (ste cose le so avendo affrontato uno studio particolare dei fondamenti usando NBG.. etc etc), adesso peró voglio prendere una successione come fa il mio testo ovvero "Prendiamo la successione \(\frac{1-n^2}{n}\)..." e qui giá non capisco cosa sta facendo "dove sarebbe il sottoinsieme del prodotto \((\Bbb{N} \times \Bbb{R})\)?". Ok, magari considera quella formula come predicato, e sarebbe lecito anche a meno di ulteriori considerazioni che verranno dopo, allora avrei che il mio sottoinsieme sarebbe \(\{(x,y) \in (\Bbb{N} \times \Bbb{R})| y=\frac{1-x^2}{x}\}\) e mi ritrovo un po meglio nel concetto vero e proprio di funzione e penso di avere formalizzato bene e qui in primis vorrei una conferma da qualche matematico piú avanti di me negli studi se penso/formalizzo bene! In secundis e se sino ad ora ho fatto bene, mi domando "cosa sarebbe quella frazione (prodotto per un inverso) e la differenza (somma con un un inverso) e la potenza? Cioé sono definiti in \(\Bbb{R}\) o in \(\Bbb{N}\)?". Personalmente mi risponderei con "tutto é definito in \({\Bbb{R}}\) poiché devo avere un immagine in questo", e se cosí é (e vorrei una ulteriore conferma qui anche) mi domando ancora "perché mai prende elementi in \(\Bbb{N}\) se \(\Bbb{N}= \omega\) (ovvero insieme degli ordinali finiti)? Come possono mai restituirmi una sezione di Dedekind con operazioni e ordini definiti in \(\Bbb{R}\)?". E con questo concludo il mio topic, come mai tutto questo informalismo, come direbbero alcuni mie colleghi, a gogo? Sicuramente sarebbe meglio prendere quel insieme \(\Bbb{N}´= \omega´ \subseteq \Bbb{R} \) isormorfo ad \(\Bbb{N}= \omega\) che conserva operazioni e ordine, e se cosí é (e vorrei anche qui una conferma) perché non lo fa l´autore, eppure prima del capitolo delle successioni fa una bella descrizione di questi isomorfismi tra gli insiemmi numerici \(\Bbb{N}, \Bbb{Z}, \Bbb{Q}\) ed particolari sottoinsiemi di \(\Bbb{R}\) indicati rispettivamente con \(\Bbb{N}´, \Bbb{Z}´, \Bbb{Q}´\) mentre ora sembra preferire il non rigore..
eppure non é il solo testo che lo fa, ma perché?
Chiedo scusa per la lunghezza del topic e spero di avere delineato chiaramente la mia questione, e ringrazio a priori per qualsiasi risposta!
ps=spero sia giusta la sezione
iniziato da poco il mio studio in analisi 1 e trovo giá alcuni problemi o strane cose o non so come come chiamarle, spero di avere una qualche delucidazione. Prendiamo l´insieme dei naturali \(\Bbb{N}\) e da esso tutti gli altri insiemi numerici costruiti come insiemi quoziente sino ad \(\Bbb{R}\) il quale viene intesto come insieme delle sezioni di Dedekind su \(\Bbb{Q}\), e su tutti questi insiemi posso definire operazioni e ordini. La mia questione é questa, si definisce in tutti i testi di analisi una successione a valori in \(\Bbb{R}\) una qualunque funzione \(F\in \Bbb{R}^\Bbb{N}\) ergo in linee generali, facendo fede alla definizioni di funzione, un \(F \subseteq (\Bbb{N} \times \Bbb{R})\) che soddisfa inoltre la proprietá di univocitá e ... (ste cose le so avendo affrontato uno studio particolare dei fondamenti usando NBG.. etc etc), adesso peró voglio prendere una successione come fa il mio testo ovvero "Prendiamo la successione \(\frac{1-n^2}{n}\)..." e qui giá non capisco cosa sta facendo "dove sarebbe il sottoinsieme del prodotto \((\Bbb{N} \times \Bbb{R})\)?". Ok, magari considera quella formula come predicato, e sarebbe lecito anche a meno di ulteriori considerazioni che verranno dopo, allora avrei che il mio sottoinsieme sarebbe \(\{(x,y) \in (\Bbb{N} \times \Bbb{R})| y=\frac{1-x^2}{x}\}\) e mi ritrovo un po meglio nel concetto vero e proprio di funzione e penso di avere formalizzato bene e qui in primis vorrei una conferma da qualche matematico piú avanti di me negli studi se penso/formalizzo bene! In secundis e se sino ad ora ho fatto bene, mi domando "cosa sarebbe quella frazione (prodotto per un inverso) e la differenza (somma con un un inverso) e la potenza? Cioé sono definiti in \(\Bbb{R}\) o in \(\Bbb{N}\)?". Personalmente mi risponderei con "tutto é definito in \({\Bbb{R}}\) poiché devo avere un immagine in questo", e se cosí é (e vorrei una ulteriore conferma qui anche) mi domando ancora "perché mai prende elementi in \(\Bbb{N}\) se \(\Bbb{N}= \omega\) (ovvero insieme degli ordinali finiti)? Come possono mai restituirmi una sezione di Dedekind con operazioni e ordini definiti in \(\Bbb{R}\)?". E con questo concludo il mio topic, come mai tutto questo informalismo, come direbbero alcuni mie colleghi, a gogo? Sicuramente sarebbe meglio prendere quel insieme \(\Bbb{N}´= \omega´ \subseteq \Bbb{R} \) isormorfo ad \(\Bbb{N}= \omega\) che conserva operazioni e ordine, e se cosí é (e vorrei anche qui una conferma) perché non lo fa l´autore, eppure prima del capitolo delle successioni fa una bella descrizione di questi isomorfismi tra gli insiemmi numerici \(\Bbb{N}, \Bbb{Z}, \Bbb{Q}\) ed particolari sottoinsiemi di \(\Bbb{R}\) indicati rispettivamente con \(\Bbb{N}´, \Bbb{Z}´, \Bbb{Q}´\) mentre ora sembra preferire il non rigore..
eppure non é il solo testo che lo fa, ma perché? Chiedo scusa per la lunghezza del topic e spero di avere delineato chiaramente la mia questione, e ringrazio a priori per qualsiasi risposta!
ps=spero sia giusta la sezione
Risposte
Posso chiederti a quale corso di laurea sei iscritto, qual è la tua formazione al momento attuale e qual è questo testo di Analisi 1 che prima "fa una bella descrizione di questi isomorfismi tra gli insiemi numerici... mentre ora sembra preferire il non rigore"?
Perché prima scrivi che hai iniziato da poco Analisi 1 e poi scrivi che hai affrontato uno studio particolare dei Fondamenti utilizzando addirittura l'assiomatica NBG.
Perché prima scrivi che hai iniziato da poco Analisi 1 e poi scrivi che hai affrontato uno studio particolare dei Fondamenti utilizzando addirittura l'assiomatica NBG.
Sulla sezione non saprei se è corretta. Poni domande quasi più di logica che di analisi.
Penso che possa esserti più chiaro se scrivi l'insieme come \(\displaystyle \biggl\{(x,y) \in (\mathbb{N} \times \mathbb{R}) \biggm| y=\frac{1- \iota(x)^2}{\iota(x)}\biggr\}\) dove \(\displaystyle \iota\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R} \) è l'immersione canonica di \(\displaystyle \mathbb{N} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Anche se è raro scrivere le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano. Spesso i matematici rilassano un po' il formalismo (anche considerando i limiti intrinsechi in ogni formalismo e il fatto che spesso il come sono definiti esattamente alcuni oggetti non è così importante[nota]Ciò che conta sono le proprietà che possiede e i teoremi che sono soddisfatti. Quindi fino a certi limiti non è importante quale definizione equivalente stai considerando.[/nota]).
"Noris":
[...] "Prendiamo la successione \(\frac{1-n^2}{n}\)..." e qui giá non capisco cosa sta facendo "dove sarebbe il sottoinsieme del prodotto \((\Bbb{N} \times \Bbb{R})\)?". Ok, magari considera quella formula come predicato, e sarebbe lecito anche a meno di ulteriori considerazioni che verranno dopo, allora avrei che il mio sottoinsieme sarebbe \(\{(x,y) \in (\Bbb{N} \times \Bbb{R})| y=\frac{1-x^2}{x}\}\) e mi ritrovo un po meglio nel concetto vero e proprio di funzione e penso di avere formalizzato bene e qui in primis vorrei una conferma da qualche matematico piú avanti di me negli studi se penso/formalizzo bene! In secundis e se sino ad ora ho fatto bene, mi domando "cosa sarebbe quella frazione (prodotto per un inverso) e la differenza (somma con un un inverso) e la potenza? Cioé sono definiti in \(\Bbb{R}\) o in \(\Bbb{N}\)?".
Penso che possa esserti più chiaro se scrivi l'insieme come \(\displaystyle \biggl\{(x,y) \in (\mathbb{N} \times \mathbb{R}) \biggm| y=\frac{1- \iota(x)^2}{\iota(x)}\biggr\}\) dove \(\displaystyle \iota\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R} \) è l'immersione canonica di \(\displaystyle \mathbb{N} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Anche se è raro scrivere le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano. Spesso i matematici rilassano un po' il formalismo (anche considerando i limiti intrinsechi in ogni formalismo e il fatto che spesso il come sono definiti esattamente alcuni oggetti non è così importante[nota]Ciò che conta sono le proprietà che possiede e i teoremi che sono soddisfatti. Quindi fino a certi limiti non è importante quale definizione equivalente stai considerando.[/nota]).
Io direi questa è più una domanda da sezione di Algebra.
"vict85":perfettamente chiaro, mi hai chiarito i dubbi con quella immersione canonica che lí per lí dimenticavo, grazie \(\infty\)
Penso che possa esserti più chiaro se scrivi l'insieme come \(\displaystyle \biggl\{(x,y) \in (\mathbb{N} \times \mathbb{R}) \biggm| y=\frac{1- \iota(x)^2}{\iota(x)}\biggr\}\) dove \(\displaystyle \iota\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R} \) è l'immersione canonica di \(\displaystyle \mathbb{N} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Anche se è raro scrivere le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano. Spesso i matematici rilassano un po' il formalismo (anche considerando i limiti intrinsechi in ogni formalismo e il fatto che spesso il come sono definiti esattamente alcuni oggetti non è così importante[nota]Ciò che conta sono le proprietà che possiede e i teoremi che sono soddisfatti. Quindi fino a certi limiti non è importante quale definizione equivalente stai considerando.[/nota]).
"G.D.":certo che puoi chiedere, ho seguito in Germania per formazione personale il corso singolo "Grundlagen der Mathematik" (non so se in italia esistono possibilitá di questo tipo, in Deutschland per formazione personale o culturale o professionale puoi dare singole materie di singoli corsi di laurea, e per fondamenti in Germania, in Baden, non vi erano prerequisiti ed ho deciso di partire cosí i miei studi), adesso vivo in Italia nell´isola "Sicilia" e frequento la facoltá di Matematica di Palermo[nota]questo forum mi é stato consigliato da alcuni colleghi che ho adesso e che dovrebbero essere utenti anche[/nota] e il testo che uso, o quello piú consigliato, é "Analisi Matematica di Pasquale Vetro e Cristina di Bari" (in questo testo vi é una introduzione dell´insiemistica ma fatta, almeno per come la penso io, troppo male)..
Posso chiederti a quale corso di laurea sei iscritto, qual è la tua formazione al momento attuale e qual è questo testo di Analisi 1 che prima "fa una bella descrizione di questi isomorfismi tra gli insiemi numerici... mentre ora sembra preferire il non rigore"?
Perché prima scrivi che hai iniziato da poco Analisi 1 e poi scrivi che hai affrontato uno studio particolare dei Fondamenti utilizzando addirittura l'assiomatica NBG.
@Noris: Ma rilassati... Se ti fissi così tanto sui simboli insiemistici, all'Analisi non ci arrivi nemmeno tra 3 anni. 
Detto in termini più formali, l'Analisi è forse il campo della Matematica in cui maggiormente si vede come varie strutture (algebrica/geometrica, d'ordine, topologica, di misura) interagiscono su un unico insieme (tipicamente quello dei reali; ma più avanti trovi insiemi più astratti, come spazi di funzioni o di operatori).
Se ti fermi ogni volta a fare il pelo di come e dove sono definite le operazioni, quali sono le immersioni, quali le identificazioni mediante quoziente, eccetera, ti perdi tutto il bello e tutta la concretezza dell'Analisi.
Anche per questo, l'introduzione alla teoria degli insiemi ed all'algebra presente sui manuali di Analisi è ridotta al minimo indispensabile.
Per tornare alla domanda, la costruzione dei reali (che immagino tu abbia visto) la fai partendo da $\NN$, ampliando di volta in volta l'orizzonte ed ogni volta identificando mediante immersione l'insieme numerico "precedente" con una parte dell'insieme "ampliato": ad esempio, si identifica $\NN$ con una parte di $\ZZ$ mediante immersione e, da allora in poi, si ritiene che $\NN \subset \ZZ$.
Analogamente, a nessuno frega niente (almeno in contesto elementare) che $\NN$ sia l'insieme degli ordinali $\omega$, o che esso sia il più piccolo di una classe d'insiemi (quelli di Peano)... Con gli elementi di $\NN$ ci devi contare roba, niente di più, niente di meno.
Lo stesso dicasi delle funzioni.
La definizione formale di funzione (quella data attraverso le relazioni, ossia attraverso sottoinsieme del prodotto cartesiano di dominio e codominio) ti fa identificare, fondamentalmente, la "funzione" col suo "grafico": una funzione è definita come il suo grafico.
Se questa è una cosa che serve per inquadrare bene dal punto di vista teorico il concetto di funzione, in Analisi lascia il tempo che trova, poiché uno dei problemi classici è stabilire come sia fatto il "grafico" di una funzione partendo da proprietà analitiche della "funzione" stessa.[nota]Ad esempio, si può chiedere com'è fatto il grafico della funzione definita (in un sottoinsieme non vuoto di $\RR$ da determinare) da una certa espressione analitica, e.g. $f(x)= \ln (1-\cos x)$; oppure com'è fatto (approssimativamente) il grafico di una qualsiasi delle funzioni che soddisfano una certa equazione differenziale, e.g. \(f^\prime (x) = f^2(x) - x^2\) (N.B.: Che tali funzioni esistano, cioè siano ben definite, è uno dei teoremi importanti dell'Analisi).[/nota]
Quindi, se identifichi "funzione" e "grafico", questo problema diventa senza senso, poiché per poter descrivere una "funzione" devi già avere sotto mano il suo "grafico".
Insomma, in Analisi si ha a che fare con oggetti da manipolare in maniera abbastanza concreta e serve concretezza per andare avanti nello studio.
Detto in termini più formali, l'Analisi è forse il campo della Matematica in cui maggiormente si vede come varie strutture (algebrica/geometrica, d'ordine, topologica, di misura) interagiscono su un unico insieme (tipicamente quello dei reali; ma più avanti trovi insiemi più astratti, come spazi di funzioni o di operatori).
Se ti fermi ogni volta a fare il pelo di come e dove sono definite le operazioni, quali sono le immersioni, quali le identificazioni mediante quoziente, eccetera, ti perdi tutto il bello e tutta la concretezza dell'Analisi.
Anche per questo, l'introduzione alla teoria degli insiemi ed all'algebra presente sui manuali di Analisi è ridotta al minimo indispensabile.
Per tornare alla domanda, la costruzione dei reali (che immagino tu abbia visto) la fai partendo da $\NN$, ampliando di volta in volta l'orizzonte ed ogni volta identificando mediante immersione l'insieme numerico "precedente" con una parte dell'insieme "ampliato": ad esempio, si identifica $\NN$ con una parte di $\ZZ$ mediante immersione e, da allora in poi, si ritiene che $\NN \subset \ZZ$.
Analogamente, a nessuno frega niente (almeno in contesto elementare) che $\NN$ sia l'insieme degli ordinali $\omega$, o che esso sia il più piccolo di una classe d'insiemi (quelli di Peano)... Con gli elementi di $\NN$ ci devi contare roba, niente di più, niente di meno.
Lo stesso dicasi delle funzioni.
La definizione formale di funzione (quella data attraverso le relazioni, ossia attraverso sottoinsieme del prodotto cartesiano di dominio e codominio) ti fa identificare, fondamentalmente, la "funzione" col suo "grafico": una funzione è definita come il suo grafico.
Se questa è una cosa che serve per inquadrare bene dal punto di vista teorico il concetto di funzione, in Analisi lascia il tempo che trova, poiché uno dei problemi classici è stabilire come sia fatto il "grafico" di una funzione partendo da proprietà analitiche della "funzione" stessa.[nota]Ad esempio, si può chiedere com'è fatto il grafico della funzione definita (in un sottoinsieme non vuoto di $\RR$ da determinare) da una certa espressione analitica, e.g. $f(x)= \ln (1-\cos x)$; oppure com'è fatto (approssimativamente) il grafico di una qualsiasi delle funzioni che soddisfano una certa equazione differenziale, e.g. \(f^\prime (x) = f^2(x) - x^2\) (N.B.: Che tali funzioni esistano, cioè siano ben definite, è uno dei teoremi importanti dell'Analisi).[/nota]
Quindi, se identifichi "funzione" e "grafico", questo problema diventa senza senso, poiché per poter descrivere una "funzione" devi già avere sotto mano il suo "grafico".
Insomma, in Analisi si ha a che fare con oggetti da manipolare in maniera abbastanza concreta e serve concretezza per andare avanti nello studio.
@gugo82,
grazie per le dritte ... e condivido quello che hai scritto, anche se giá la mia forma mentis é tale da vedere/capire i vari concetti matematici prima di tutto intutivamente/semplicemente (e alle volte ci vuole molta immaginazione o astrazione) e dopo cercare un po di vedere il rigore (anche fondazionale) che vi sta dietro. Ovvio, che non diró mai al docente di analisi che prendiamo quell´immersione canonica, sarebbe inutile, se non solo riempirmi la bocca di parole, e me ne rendo conto io stesso di ció ma sapendo cosa siá una funzione (concetto che nella mia mente semplicmente, aldilá degli aspetti relativi alla sua definizione insiemistica-fondazionale, vedo piú come una freccia con una semplicissima proprietá di univocitá.... etc etc) e il suo grafico (concettto anche questo che aiuta molto a cogliere il senso intuitivo e semplice di certe proprietá) volevo un po dare rigore o meglio esprimere in rigore matematico (tramite linguaggio matematico) questi "carini concetti e simpatiche proprietá" dagli aspetti intutivi e semplici... un esempio banale, graficamente é ovvio che una successione non decrescente é limitata inferiormente, ergo ammette minimo etc etc (in maniera analoga per le successioni non crescenti) e trovo ció utile per cogliere il senso di simili proprietá ma non posso scrivere nella dimostrazione "ovvio dall´andamento del grafico di simili successioni, basti pensare ad \(f(1)\) o \(f(0)\) (a seconda di come si definisce una successione)" con \(f\) successione, avendo intuito e capito, tramite l´uso del grafico, cosa vuole dire la proprietá mi rimane solo cercare di scrivere una proof grosso modo formale e un pochino rigorosa (oddio, in questo caso é semplicissimo)....
Ciao
grazie per le dritte
... e condivido quello che hai scritto, anche se giá la mia forma mentis é tale da vedere/capire i vari concetti matematici prima di tutto intutivamente/semplicemente (e alle volte ci vuole molta immaginazione o astrazione) e dopo cercare un po di vedere il rigore (anche fondazionale) che vi sta dietro. Ovvio, che non diró mai al docente di analisi che prendiamo quell´immersione canonica, sarebbe inutile, se non solo riempirmi la bocca di parole, e me ne rendo conto io stesso di ció ma sapendo cosa siá una funzione (concetto che nella mia mente semplicmente, aldilá degli aspetti relativi alla sua definizione insiemistica-fondazionale, vedo piú come una freccia con una semplicissima proprietá di univocitá.... etc etc) e il suo grafico (concettto anche questo che aiuta molto a cogliere il senso intuitivo e semplice di certe proprietá) volevo un po dare rigore o meglio esprimere in rigore matematico (tramite linguaggio matematico) questi "carini concetti e simpatiche proprietá" dagli aspetti intutivi e semplici... un esempio banale, graficamente é ovvio che una successione non decrescente é limitata inferiormente, ergo ammette minimo etc etc (in maniera analoga per le successioni non crescenti) e trovo ció utile per cogliere il senso di simili proprietá ma non posso scrivere nella dimostrazione "ovvio dall´andamento del grafico di simili successioni, basti pensare ad \(f(1)\) o \(f(0)\) (a seconda di come si definisce una successione)" con \(f\) successione, avendo intuito e capito, tramite l´uso del grafico, cosa vuole dire la proprietá mi rimane solo cercare di scrivere una proof grosso modo formale e un pochino rigorosa (oddio, in questo caso é semplicissimo)....Ciao
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