Asintoto - dimostrazione

[Seneca1]

Ho bisogno di una mano. Sto cercando di dimostrare un fatto intuitivo; si consideri una funzione $f : ]a, b[ -> RR$, continua e derivabile, tale che:

$lim_(x -> a^+) f(x) = +oo$;

allora esiste un intorno destro del punto $a$ in cui la $f$ è decrescente.


Grazie per gli eventuali spunti.

[dissonance]

Sai che forse è falso?

Come controesempio penserei a $(sin(1/x)+2)/x$ in un intorno destro di 0. Guarda un po' il grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=30; axes(); plot("(sin(1/x)+2)/x");[/asvg]

[Seneca1]

Ah... Sarebbe imbarazzante, eheh.

[dissonance]

Ho aggiunto un possibile controesempio con il grafico. C'è da mostrare analiticamente che è appropriato, però. Ma sono convinto che la proposizione è falsa, se questo controesempio non dovesse andare bene ne cerchiamo un altro.

[Seneca1]

"dissonance":Sai che forse è falso?

Come controesempio penserei a $(sin(1/x)+1)/x$ in un intorno destro di 0.

Di quella funzione non esiste il limite per $x$ tendente a $0^+$, però...

[dissonance]

Hai ragione. Ma piazzando 2 in luogo di 1 le cose si dovrebbero aggiustare.

[dissonance]

Ah, ho aggiornato il grafico. Mi pare che adesso il controesempio vada bene.

[Seneca1]

Confidavo troppo nell'intuizione. Grazie mille per la confutazione, Dissonance.