Asintoticità: quando si possono sostituire?

[Lemniscata1]

Salve!

Se è possibile e se ciò non viola il regolamento, vorrei dei chiarimenti sulla possibilità o illiceità di effettuare, nel calcolo di limiti, sostituzioni di funzioni con funzioni a loro asintotiche attorno al punto limite.

Ovvero, la mia domanda è: in quali casi e perché ciò risulta possibile? E al contrario, in quali casi e perché tale modo di procedere risulta errato?

Grazie in anticipo a coloro i quali avranno la pazienza di chiarirmi tale questione teorica.

[amivaleo]

puoi sostituire una funzione con la sua asintotica, solo se appare moltiplicata o divisa per tutto il resto. altrimenti utilizzi lo sviluppo di taylor (che puoi sempre arrestare al primo ordine non nullo, ottenendo così proprio la funzione asintotica) in cui devi però inserire l'o-piccolo.
l'o-piccolo puoi vederlo come "l'errore che commetti approssimando la funzione col suo sviluppo di taylor". se usi l'asintotico, non tieni conto di questo errore che può anche contenere informazioni necessarie per determinare il limite proposto.

questo almeno è ciò che so, forse in maniera sommaria o non troppo esauriente ^^

[Giuly191]

In sostanza è così, bisogna stare attenti con le somme.
Se per $n->+oo$ $a_n sim c_n$ e $b_n sim d_n$, non è detto che $a_n+b_n sim c_n + d_n$.
Esempio stupido: $a_n = n$ e $b_n=logn - n$. $a_n sim n$ e $b_n sim -n$ per $n->+oo$, però non ha nessun senso dire che qualcosa è asintotico a $0$, infatti $a_n + b_n sim log n$ (in questo caso).

[Seneca1]

Se vuoi un testo che a mio avviso tratta abbastanza bene queste cose ti consiglio di cercare "Analisi Matematica" (il titolo dovrebbe essere questo) di Dolcher, volume II.