Asintotici locali

[Sk_Anonymous]

Vi chiedo lumi su un argomento che non ho ben compreso appieno, il calcolo di asintotici locali, cioè come si comporta una funzione nell'intorno di un punto (per esempio uno zero).

Prendiamo ad esempio la seguente funzione:
$f(x): sqrt(x^2-2x-3)$

Ne vogliamo studiare il comprtamento nell'intorno di $-1^"-"$

$lim_{x \to -1^"-"} sqrt(x^2-2x-3)$
Poniamo $t=1+x$ e riscriviamo il limite come

$lim_{t \to 0^"-"} sqrt((t-1)^2-2(t-1)-3)$
$lim_{t \to 0^"-"} sqrt(t^2-4t)$

Ora $t^2-4t \sim -4t$ visto che $t \to 0$ ma in questo caso la radice non esisterebbe. Dovrebbe venire che la funzione si comporta come la radice quadrata. A livello pratico, questo mi farebbe capire la concavità della funzione in quel punto senza ricorrere alla derivata seconda (in questo caso verso il basso)

[j18eos]

Perché non esisterebbe?

EDIT Mi sono sfuggite le esternazioni sulle derivate.

[Seneca1]

Io non ho capito cosa vuoi fare...

E' spesso comodo considerare delle approssimazioni polinomiali per studiare la funzione localmente. Il problema è che in questo caso la funzione è una coppia di rami di iperbole e nel punto $-1$ la derivata è infinita.

[Sk_Anonymous]

"j18eos":Perché non esisterebbe?

EDIT: Ho sbagliato esiste, perchè $t$ tende a $0$ da sinistra (e quindi il tutto viene positivo). Quindi posso dire che la mia funzione tende a $-1$ da sinistra "come" la funzione radice (cioè con la stessa velocità e quindi anche con la stessa concavità) e quindi disegnare una concavità verso il basso. Confermi?

"Seneca":Io non ho capito cosa vuoi fare...

Devo disegnare il grafico qualitativo di una funzione che per $x \to - \infty$ tende a $+ \infty$ e poi interseca l'asse x nel punto $-1$. Ora supponiamo che io sappia che la funzione è sempre descrescente (in modo da escludere che la funzione oscilli e altre cose di questo tipo). Ancora non so se per congiungere il $- \infty$ con il punto (-2,0) devo disegnare una concavità verso il basso o verso l'alto.

Se sapessi che la funzione tende a quel valore come la radice quadrata, disegnerei una concavità verso il basso. Se invece ci tende come una parabola con concavità verso l'alto, ci disegno una concavità verso l'alto.

Supponiamo che dobbiamo disegnare il grafico di $1-cos(x)$ nell'intorno dell'origine (supponiamo di non conoscere il grafico del coseno e quindi di poter arrivare a soddisfare la richiesta tramite altri metodi (facendo una simmetria rispetto all'asse $x$ e poi alzando tutto di una unità)). Sappiamo che $1 - cos(x) \sim x^2/2$ quindi per disegnare il grafico qualitativo nell'intorno dell'origine ci disegno quella parabola con concavità verso l'alto (al posto di disegnare il grafico della funzione, ci disegno il grafico della parabola. Più mi avvicino a 0 e meno mi sbaglio)

E' un metodo che ci ha insegnato il professore per determinare la concavità di una funzione in un intorno senza ricorrere alla derivata seconda. Se trovo che in quell'intorno la funzione è asintotica a una curva che so disegnare, la sua concavità è la stessa di quella della curva che so disegnare.

E' sbagliato come metodo?

[j18eos]

In definitiva ti trovi che [tex]$\lim_{x\to-1^-}f(x)=-1$[/tex], ma così non ottieni nessun'altra informazione!

Per ottenere quello che dici tu devi eseguire lo studio delle derivate.