Asintoticamente equivalente

[pepper9]

Ciao a tutti,
volevo chiedervi se è corretto affermare che per $x -> 0$
$ln(x+1) ~= ln(1)$ oppure $ln(x+1) ~= ln(x)$
Grazie.

[Mephlip]

Un tuo parere sulle opzioni? Anche intuitivamente, secondo te qual è plausibile?

[pilloeffe]

Ciao pepper9,

Sarei per nessuna delle due opzioni...
Per $x \to 0 $ si ha:

$ln(1 + x) $[tex]\sim[/tex] $x $

[dissonance]

Ed ecco un ulteriore caso in cui questo concetto di "equivalenza asintotica" porta ad un errore. Sicuramente l'OP ha ragionato così: per \(x\to 0\), \(1\) è dominante rispetto a \(x\), quindi si può trascurare e \(\log(1+x)\sim \log 1=0\). E no, non funziona così, questa conclusione è priva di senso. Per fare bene queste analisi, sempre meglio considerare il termine di errore, sotto forma di o-piccolo o di O-grande. Così si è sicuri di non sbagliare.

[emanuele.torrisi]

Per x$rarr$0 l'argomento del tuo logaritmo tende ad 1;
Quando l'argomento di un logaritmo tende ad 1 si applica la seguente stima asintotica:
$f(x)rarr1$, allora:
$log(f(x))~f(x)-1$
Questa diciamo è la regola generale che applico solitamente negli esercizi con funzioni anche più complesse di quella che hai scritto tu, e si rivela molto utile.

[dissonance]

Ma non è più semplice e anche più efficace ricordare lo sviluppo di Taylor? Ovvero
\[
\log(1+y)=y+o(y),\qquad y \to 0, \]
da cui, se \(f(x)\to 0\) per \(x\to x_0\),
\[
\log(1+f(x))=f(x)+o(f(x)).\]

[pepper9]

Ho fatto un esempio un po' triste... non mi ero accorto che per $ln(x+1)$ c'è il polinomio di Taylor ed è anche uno dei più importanti. Comunque in generale per $x -> 0$ si può dire che
$f(x+a) ~= f(a) AAa\inRR$ oppure no?

Secondo me no

[dissonance]

Il problema è che stai usando dei simboli senza definirli. Cosa significa esattamente \(f(x)\sim g(x)\)? Scrivi la definizione, per favore.

[pepper9]

con $f(x)∼g(x)$ intendo che $f(x)=g(x)*(1+o(1))$

[dissonance]

In questo caso, puoi facilmente rispondere da solo o da sola; \(f(x)\sim f(a)\) per \(x\to a\) solamente se \(f(a)\ne 0\). Altrimenti si avrebbe che \(f(x)=0\) il che chiaramente è falso.

Come vedi, usando i simboli di o-piccolo (o di O-grande), tutto è più facile.

[pepper9]

Giusto grazie

[pepper9]

Però se stiamo parlando della stessa funzione?
Quindi nel caso in cui per $x -> 0$
$f(x+a)∼f(a+o(1))$
è corretto?

(a me sembra di si)

[dissonance]

Non so perché ti sei incapocciato tanto con questo simbolo \(\sim\). Lascialo stare, non serve a niente, fa solo confondere. Usa gli o piccoli e gli O grandi, piuttosto.

[pepper9]

*$f(x+a)=f(a+o(1))$

[Mathita]

Cosa intendi con $o(1)$? Una qualsiasi funzione infinitesima per $x\to 0$? Se è così, purtroppo la relazione è sbagliata. Se la relazione fosse corretta, potrei scrivere [FALSO] $\ln(1+x)∼\ln(1+x^2)$ per $x\to 0$ [FALSO], proprio perché $x^2=o(1)$ per $x\to 0$.