Asintoti orizzontali di una funzione integrale

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Senza ricavare esplicitamente l'espressione analitica, devo trovare i due asintoti orizzontali della funzione integrale [tex]\int_{1}^{x+1}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^4+1}dt[/tex]. Quando [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], la funzione integranda è asintotica a [tex]\frac{1}{t^3}[/tex], quindi procedendo con il calcolo del limite si ha: [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{1}^{x+1}\frac{1}{t^3}dt=\frac{1}{2}[/tex]. E fin qui tutto bene. Il risultato è in accordo con il grafico che ho realizzato con Derive: la retta [tex]y=\frac{1}{2}[/tex] è un asintoto orizzontale.
I problemi nascono quando [tex]x\rightarrow -\infty[/tex]. Analogamente a quanto visto prima risulta che la funzione integranda è asintotica a [tex]-\frac{1}{t^3}[/tex] e considerando che in tal caso [tex]x<0[/tex], si ottiene: [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{x+1}^{1}\frac{1}{t^3}dt=-\frac{1}{2}[/tex]. Ma tale risultato non concorda con il grafico; dal grafico risulta che l'asintoto, approssimativamente, ha equazione [tex]y=2,42\cdots[/tex]. Perché questa anomalia? Cosa sbaglio?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[j18eos]

Premesso che le funzioni integrali non le ho trattate, ma l'ultimo limite non dovresti calcolarlo per $x$ tendente a $-\infty$!

[Luca.Lussardi]

Attenzione: anche il risultato a $+\infty$ non è stato ottenuto in modo corretto, nonostante derive suggerisca di sì. I confronti asintotici servono solo a dedurre convergenza o divergenza per integrali impropri, ma mai per dedurre valori esatti. Puoi trovare una stima per eccesso o difetto dell'integrale, ma non il suo valore esatto.

[Andrea902]

"Luca.Lussardi":Attenzione: anche il risultato a $+\infty$ non è stato ottenuto in modo corretto, nonostante derive suggerisca di sì. I confronti asintotici servono solo a dedurre convergenza o divergenza per integrali impropri, ma mai per dedurre valori esatti. Puoi trovare una stima per eccesso o difetto dell'integrale, ma non il suo valore esatto.

Capito. Allora come posso trovare le equazioni degli asintoti orizzontali senza ricavare esplicitamente l'espressione analitica? Neppure io ho mai trattato le funzioni integrali, tranne qualche cenno, e per questo volevo provvedere da autodidatta!

[desimoneilmaledetto]

Sinceramente non riesco a concepire le equazioni degli asintoti non in forma analitica. Se sono l'uno sicuramente sono anche l'altro (o forse non ho capito bene cosa intendevi dire)...............come diceva bene Lussardi la stima asintotica ci dice sicuramente che la funzione integrale possiede un asintoto. L'unica cosa da fare ora sarebbe quella di risolvere esplicitamente l'integrale improprio $ int_(1)^(oo ) (sqrt(x^2+1) /(x^4+1))dx$ (come risolverlo??) e trovare così un valore c tale che y=c è l'asintoto cercato.....per il caso x a meno infinito lo stesso discorso

[Luca.Lussardi]

Secondo me oltre a dire che l'asintoto $y=c$ c'è si può fare ben poco... al massimo con qualche confronto si stima $c$.

[Andrea902]

"desimoneilmaledetto":Sinceramente non riesco a concepire le equazioni degli asintoti non in forma analitica. Se sono l'uno sicuramente sono anche l'altro (o forse non ho capito bene cosa intendevi dire)...............come diceva bene Lussardi la stima asintotica ci dice sicuramente che la funzione integrale possiede un asintoto. L'unica cosa da fare ora sarebbe quella di risolvere esplicitamente l'integrale improprio $ int_(1)^(oo ) (sqrt(x^2+1) /(x^4+1))dx$ (come risolverlo??) e trovare così un valore c tale che y=c è l'asintoto cercato.....per il caso x a meno infinito lo stesso discorso

Infatti mi riferivo a non trovare esplicitamente l'espressione analitica della funzione integrale, non dell'asintoto orizzontale... Tuttavia, in una discussione analoga proposta sempre da me qualche tempo fa, si considerava la funzione [tex]\int_{x}^{2x}\frac{t^3+1}{t^4+t^2+1}dt[/tex] e si pensò di trovare l'equazione dell'asintoto orizzontale ricorrendo al confronto asintotico ed in quel caso l'esercizio risultò. A cosa è dovuto questo fatto?

[desimoneilmaledetto]

"Andrea90":
Infatti mi riferivo a non trovare esplicitamente l'espressione analitica della funzione integrale, non dell'asintoto orizzontale... Tuttavia, in una discussione analoga proposta sempre da me qualche tempo fa, si considerava la funzione [tex]\int_{x}^{2x}\frac{t^3+1}{t^4+t^2+1}dt[/tex] e si pensò di trovare l'equazione dell'asintoto orizzontale ricorrendo al confronto asintotico ed in quel caso l'esercizio risultò. A cosa è dovuto questo fatto?

Sinceramente non ho mai trattato funzioni integrali del tipo che hai proposto ma soltanto quelle che i libri di testo definiscono e cioè $ int_(a)^(x) f(t)dt $ con a fissato..ho provato a risolvere in entrambi i modi quest'ultimo esercizio e secondo me è un caso fortuito che vengano risultati coerenti..........Penso che a prescindere da tutto questo ti sia chiaro in mente il concetto di convergenza asintotica e che questo applicato all'esercizio che hai proposto non da a PRIORI il risultato cercato perchè si tratta soltato di una stima.......la cosa da fare sarebbe quella di risolvere "a mano" l'integrale e come è stato già detto non penso ci si cavi fuori qualche ragno dal buco.[pgn][/pgn]

[Andrea902]

Esatto. Fra l'altro l'esercizio l'ho inventato io aiutandomi con Derive! Perché volevo vedere se potevo applicare ugualmente il confronto asintotico come ho fatto nell'altro esercizio riportato nel mio ultimo post! Niente da fare!
Grazie a tutti!