Asintoti Funzione Integrale
salve a tutti...volevo sapere come si possono calcolare gli asintoti sia orizzontali, sia verticali che obliqui in una funzione integrale senza calcolare l'integrale; mi spiego meglio. a me non interessa calcolare il valore preciso del limite; per esempio per un asintoto verticale quando faccio il limite per x che tende ad un valore mi interessa solo sapere se diverge o converge (certo se mi calcolo il valore del limite in maniera precisa è meglio ma non è fondamentale!), e così anche negli altri casi. credete che si possa fare sfruttando la sommabilità degli integrali?
grazie in anticipo per l'aiuto!
grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Credo che ti convenga sfruttare il criterio del confronto fra integrali impropri. Confronta il tuo integrale con qualcosa di (più) semplice e concludi...
ok grazie ad entrambi per le risposte. volevo solo approfondire il procedimento del confronto; qualcuno può spiegarmi meglio come fare?
"avmarshall":
ok grazie ad entrambi per le risposte. volevo solo approfondire il procedimento del confronto; qualcuno può spiegarmi meglio come fare?
C'è poco da spiegare...
Prova a postare un esempio.
Lo faccio io un esempio banale. Verifichiamo chee l'integrale
[tex]\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\log(x)}[/tex]
diverge.
Osserviamo preliminarmente che la scrittura dell'integrale improprio è equivalente a
[tex]\displaystyle \underset{n\to +\infty}\lim \int_{2}^{n} \frac{dx}{\log(x)}[/tex]
Ora, poiché [tex]\forall x\in [2,+\infty)\;\; \log(x) < x[/tex] si avrà che
[tex]\displaystyle \frac{1}{\log(x)} > \frac{1}{x}\;\;\; \forall x\in [2,+\infty)[/tex]
Sia ora un arbitrario [tex]n\geq 2[/tex]; integrando in [tex][2,n][/tex] otteniamo che
[tex]\displaystyle \int_{2}^{n}\frac{dx}{\log(x)} \geq \int_{2}^{n} \frac{dx}{x}=\log(n)-\log(2)[/tex]
Per [tex]n\to +\infty,\;\;\log(n)-\log(2)\to +\infty[/tex]. Abbiamo quindi dimostrato che
[tex]\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac {dx}{\log(x)}=+\infty.[/tex]
[tex]\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\log(x)}[/tex]
diverge.
Osserviamo preliminarmente che la scrittura dell'integrale improprio è equivalente a
[tex]\displaystyle \underset{n\to +\infty}\lim \int_{2}^{n} \frac{dx}{\log(x)}[/tex]
Ora, poiché [tex]\forall x\in [2,+\infty)\;\; \log(x) < x[/tex] si avrà che
[tex]\displaystyle \frac{1}{\log(x)} > \frac{1}{x}\;\;\; \forall x\in [2,+\infty)[/tex]
Sia ora un arbitrario [tex]n\geq 2[/tex]; integrando in [tex][2,n][/tex] otteniamo che
[tex]\displaystyle \int_{2}^{n}\frac{dx}{\log(x)} \geq \int_{2}^{n} \frac{dx}{x}=\log(n)-\log(2)[/tex]
Per [tex]n\to +\infty,\;\;\log(n)-\log(2)\to +\infty[/tex]. Abbiamo quindi dimostrato che
[tex]\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac {dx}{\log(x)}=+\infty.[/tex]
Richard_Dedekind, non credo fosse questo l'argomento della discussione.
Il criterio del confronto è questo, direi. In tal caso la funzione definita da
[tex]\displaystyle \mathcal{F}(x)=\int_{2}^{x} \frac{du}{\log(u)}\;\;\;\forall x\in [2,+\infty)[/tex]
non ha asintoti orizzontali (e come si vede facilmente nemmeno obliqui).
[tex]\displaystyle \mathcal{F}(x)=\int_{2}^{x} \frac{du}{\log(u)}\;\;\;\forall x\in [2,+\infty)[/tex]
non ha asintoti orizzontali (e come si vede facilmente nemmeno obliqui).
Salve a tutti volevo sapere come faccio a trovare gli asintoti, in particolare volevo sapere le condizioni affinche esistano gli asintoti, mi spiego meglio con un esempio:
data la funzione:
$f(x)=int_{1/2}^{x} dx/log x\$
dire se è limitata e calcolare eventuali asintoti.
Ora il campo di esistenza si ricava:
${(logt \ne 0), (t>0):}$ $=>$ ${(t \ne 1), (t>0):}$ $=>$ \( \forall t \in ]0,1[\cup]1,+\infty[\)
per cui si prende l'intervallo $]0;1[$ e se ne studia la sommabilità in senso generalizzato:
•per $t->0^+$ la funzione integranda si comporta come la funzione di confronto $1/(x-0)^\alpha$ con $\alpha=1$ per cui è non sommabile
•per $t->1^-$ la funzione integranda si comporta come la funzione di confronto $1/(x-1)^\alpha$ con $\alpha=1$ per cui è non sommabile
in definitiva il C.E. dovrebbe essere: $]0;1[$
Adesso dovrei trovare gli asintoti ma vorrei sapere come cominciare, comincio a cercare quello obliquo? Come faccio a sapere se esistono asintoti? E l'esistenza di uno ne esclude l'esistenza di altri?
Grazie in anticipo
PS: se qualcuno potesse spiegarmi perchè la parentesi quadra chiusa mi spunta in quel modo e come si fa a scrivere i limiti mi farebbe un grande favore.
data la funzione:
$f(x)=int_{1/2}^{x} dx/log x\$
dire se è limitata e calcolare eventuali asintoti.
Ora il campo di esistenza si ricava:
${(logt \ne 0), (t>0):}$ $=>$ ${(t \ne 1), (t>0):}$ $=>$ \( \forall t \in ]0,1[\cup]1,+\infty[\)
per cui si prende l'intervallo $]0;1[$ e se ne studia la sommabilità in senso generalizzato:
•per $t->0^+$ la funzione integranda si comporta come la funzione di confronto $1/(x-0)^\alpha$ con $\alpha=1$ per cui è non sommabile
•per $t->1^-$ la funzione integranda si comporta come la funzione di confronto $1/(x-1)^\alpha$ con $\alpha=1$ per cui è non sommabile
in definitiva il C.E. dovrebbe essere: $]0;1[$
Adesso dovrei trovare gli asintoti ma vorrei sapere come cominciare, comincio a cercare quello obliquo? Come faccio a sapere se esistono asintoti? E l'esistenza di uno ne esclude l'esistenza di altri?
Grazie in anticipo
PS: se qualcuno potesse spiegarmi perchè la parentesi quadra chiusa mi spunta in quel modo e come si fa a scrivere i limiti mi farebbe un grande favore.
"ppg91":
data la funzione:
$f(x)=int_{1/2}^{x} dx/log x\$
dire se è limitata e calcolare eventuali asintoti.
[...] in definitiva il C.E. dovrebbe essere: \(]0;1[\)
Esatto.
"ppg91":
Adesso dovrei trovare gli asintoti ma vorrei sapere come cominciare, comincio a cercare quello obliquo? Come faccio a sapere se esistono asintoti? E l'esistenza di uno ne esclude l'esistenza di altri?
L'insieme di definizione è limitato, ergo come fai a voler cercare l'asintoto obliquo?
Per quanto riguarda il resto, nota che l'integrando ha segno costante in \(]0,1[\) e che non è sommabile negli estremi dell'intervallo; da qui a concludere la presenza di asintoti è un passo brevissimo.
"ppg91":
PS: se qualcuno potesse spiegarmi perchè la parentesi quadra chiusa mi spunta in quel modo e come si fa a scrivere i limiti mi farebbe un grande favore.
Per quanto riguarda la parentesi, è un problema di traduzione da MathML a MatJax e non c'è nulla da fare.
Puoi però usare direttamente la sintassi MathJax, in cui i simboli \$ sono sostituiti da slash( e slash) (al posto di slash ci va \): ad esempio:
$ ]0,1[ $
produce $]0,1[$, mentre:
\( ]0,1[ \)
produce \(]0,1[\).
In generale slash( e slash) dovrebbero sempre essere usati per rimpiazzare gli \$ quando si scrive una formula "in corpo" (ossia dentro il testo), mentre slash[ e slash] per rimpiazzare gli \$ quando si scrivono formule fuori corpo.
Per quanto riguarda i limiti, la sintassi MathJax "in corpo" è:
\( \lim_{x \to x_0} f(x)=l \)che produce \( \lim_{x \to x_0} f(x)=l \), e quella "fuori corpo":
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \]che produce:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \]
Grazie del chiarimento.
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