Asintoti e derivate
Su questo forum ho avuto parte a due discussioni che si sono concluse con risultati... opposti. Apro questo nuovo topic per cercare di capire dove ho sbagliato.
Appena iscritto a questo forum avevo chiesto se la seguente proposizione poteva essere vera: "se una funzione ammette un asintoto obliquo od orizzontale, allora la derivata ammette un asintoto orizzontale". Mi è stato fatto notare giustamente che la proposizione è falsa; il contro esempio prodotto, da ViciousGoblin, è stato $sin(x^2)/x$: la funzione tende a 0, ma la derivata non ha limite. Il topic è questo https://www.matematicamente.it/forum/asi ... tml#240663
Poco tempo fa, invece, provando a risolvere un problema qui proposto, ho di nuovo affrontato la questione. La proposizione che ho tentato di dimostrare è "se una funzione monotona e derivabile ammette un asintoto orizzontale, allora la derivata prima deve tendere a zero". Mi sembra che le ipotesi questa volta siano più che sufficienti a garantire l'esattezza della proposizione. La dimostrazione che ho elaborato è la seguente:
Sia $f(x)$ la funzione monotona e derivabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$, sia $l$ il suo limite per $x\to +\infty$. Allora, fissato un $h>0$, applichiamo il teorema di Lagrange sull'intervallo $[x,x+h]$. Visto che le ipotesi di tale teorema sono tutte soddisfatte, esisterà $c\in (x,x+h)$ tale che $f'(c)=(f(x+h)-f(x))/h$. Ora, c dipende dall'intervallo ed è chiaro che se $x\to +\infty$, allora anche $c\to +\infty$. Ne dovrebbe seguire, essendo h un reale fissato, che $\lim_{c\to+\infty}f'(c)=\lim_{x\to +\infty}(f(x+h)-f(x))/h=0$, cioè la tesi.
Tuttavia, come potete osservare, non ho assolutamente impiegato l'ipotesi di monotonia... e dunque ho dimostrato una cosa sbagliata! Naturalmente ci deve essere un errore, solo che non lo vedo... L'unica cosa che mi è venuta in mente è che forse c tende all'infinito ma non con continuità...
Appena iscritto a questo forum avevo chiesto se la seguente proposizione poteva essere vera: "se una funzione ammette un asintoto obliquo od orizzontale, allora la derivata ammette un asintoto orizzontale". Mi è stato fatto notare giustamente che la proposizione è falsa; il contro esempio prodotto, da ViciousGoblin, è stato $sin(x^2)/x$: la funzione tende a 0, ma la derivata non ha limite. Il topic è questo https://www.matematicamente.it/forum/asi ... tml#240663
Poco tempo fa, invece, provando a risolvere un problema qui proposto, ho di nuovo affrontato la questione. La proposizione che ho tentato di dimostrare è "se una funzione monotona e derivabile ammette un asintoto orizzontale, allora la derivata prima deve tendere a zero". Mi sembra che le ipotesi questa volta siano più che sufficienti a garantire l'esattezza della proposizione. La dimostrazione che ho elaborato è la seguente:
Sia $f(x)$ la funzione monotona e derivabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$, sia $l$ il suo limite per $x\to +\infty$. Allora, fissato un $h>0$, applichiamo il teorema di Lagrange sull'intervallo $[x,x+h]$. Visto che le ipotesi di tale teorema sono tutte soddisfatte, esisterà $c\in (x,x+h)$ tale che $f'(c)=(f(x+h)-f(x))/h$. Ora, c dipende dall'intervallo ed è chiaro che se $x\to +\infty$, allora anche $c\to +\infty$. Ne dovrebbe seguire, essendo h un reale fissato, che $\lim_{c\to+\infty}f'(c)=\lim_{x\to +\infty}(f(x+h)-f(x))/h=0$, cioè la tesi.
Tuttavia, come potete osservare, non ho assolutamente impiegato l'ipotesi di monotonia... e dunque ho dimostrato una cosa sbagliata! Naturalmente ci deve essere un errore, solo che non lo vedo... L'unica cosa che mi è venuta in mente è che forse c tende all'infinito ma non con continuità...
Risposte
"se una funzione monotona e derivabile ammette un asintoto orizzontale, allora la derivata prima deve tendere a zero"
è falso.
è falso.
Se aggiungi alle ipotesi la regolarità di $f'$ in $+oo$ il tutto mi sembra funzionare (per il teorema fondamentale del calcolo integrale, ad occhio e croce).
Forse l'inghippo sta nel fatto che le ipotesi di monotonia e derivabilità su $f$ non implicano la regolarità di $f'$ in $+oo$; tuttavia non mi riesce di trovare un buon controesempio al momento.
Luca, non è che ce l'hai tu un controesempio? (Data la lapidaria affermazione suppongo di sì.)
Forse l'inghippo sta nel fatto che le ipotesi di monotonia e derivabilità su $f$ non implicano la regolarità di $f'$ in $+oo$; tuttavia non mi riesce di trovare un buon controesempio al momento.
Luca, non è che ce l'hai tu un controesempio? (Data la lapidaria affermazione suppongo di sì.)
@Luca.Lussardi: se potessi postare un controesempio te ne sarei molto grato.
Io non riesco a dimostrare nemmeno la regolarità del rapporto incrementale. D'altra parte tutte le funzioni che riesco ad immaginarmi sono funzioni che oltre alle ipotesi che ho già riportato soddisfano anche l'ulteriore richiesta di essere o solo concave o solo convesse (cioè di non avere flessi). Però continuano a sembrarmi condizioni superflue, dimostrabili a partire da quanto ho già. E probabilmente è qui che mi sbaglio...
Io non riesco a dimostrare nemmeno la regolarità del rapporto incrementale. D'altra parte tutte le funzioni che riesco ad immaginarmi sono funzioni che oltre alle ipotesi che ho già riportato soddisfano anche l'ulteriore richiesta di essere o solo concave o solo convesse (cioè di non avere flessi). Però continuano a sembrarmi condizioni superflue, dimostrabili a partire da quanto ho già. E probabilmente è qui che mi sbaglio...
Io ho trovato sul mio quaderno di analisi il seguente "criterio dell'asintoto".
Sia $f:[t_0;+oo)\toRR$ derivabile, con $lim_{t\to+oo}f(t)<+oo$. Allora, se esiste, $lim_{t\to+oo}f'(t)=0$.
La dimostrazione è facile: si basa sulla regola di De L'Hopital. Probabilmente l'inghippo sta nel "se esiste".
Sia $f:[t_0;+oo)\toRR$ derivabile, con $lim_{t\to+oo}f(t)<+oo$. Allora, se esiste, $lim_{t\to+oo}f'(t)=0$.
La dimostrazione è facile: si basa sulla regola di De L'Hopital. Probabilmente l'inghippo sta nel "se esiste".
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