Asintoti e Continuità Uniforme

[pizzikikkio93]

Un consiglio....
come posso dimostrare che se una funzione ammette asintoto obliquo allora è uniformemente continua?
Grazie:)

[21zuclo]

idee tue? ti posso dire che il viceversa non è vero!

posta qualche tuo tentativo com'è previsto dal regolamento

[Plepp]

"pizzikikkio":se una funzione ammette asintoto obliquo allora è uniformemente continua?

Ma senza dire nient'altro non è vero

(Contro)esempio:
\[f(x):=
\begin{cases}
\sin(1/x)&\text{se}\ x\in]0,1[\\
(x-1)+\sin(1)&\text{se}\ x\in[1,+\infty[
\end{cases}
\]
Questa roba ha asintoto obliquo ed è pure continua, ma non uniformemente.

[pizzikikkio93]

Si, scusate....
come altra ipotesi ho solamente che f è continua.
un mio tentativo parte dalla definizione di asintoto obliquo (più precisamente dalla definizione di limite tendente a zero per x tendente all'infinito di f(x)-ax-b) ..... da una piccola serie di disuguaglianze arrivo alla lipschitzianità della funzione di costante a, e quindi segue che è uniformemente continua...
Sbaglio qualcosa?

[Plepp]

Ci sarà sicuramente qualcosa che non va...altrimenti avresti dimostrato che anche la funzione che ho definito prima è Lipschitziana (e non lo è).

A prescindere da questo, mi sembra strano che tu possa dedurre la Lipschitzianità, che è una proprietà globale, da un'informazione "inutile" come il comportamento della funzione "all'infinito" (un'informazione locale, in un certo senso).

Probabilmente (non ho tempo di far verifiche purtroppo), se hai una funzione continua in $[a,+\infty)$* allora, mettendo insieme a dovere Heine-Cantor e la tua ipotesi (l'asintoto obliquo), si dovrebbe poter cavare qualcosa.

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[size=85]*è importante che $a$ sia incluso nel dominio, oppure devi sapere che $\lim_{x\to a^+}f(x)\in RR$.[/size]