Asintoti dubbio

[erika861]

Ciao a tutti

Stavo svolgendo il seguente studio di funzione:

$f(x)=x*arctg(x^3)$

Ho trovato il Dominio: Dom f = R = (-oo,+oo) [dato che arctg è definita in tutto R]

Ho verificato se la funzione è pari o dispari:

$f(x) = f(-x)$
x*arct(x^3) = -x * arctg(-x^3)

[Dato che è una moltiplicazione fare + * + = + e fare - * - = - quindi è uguale]
Da ciò deduco che la funzione è pari quindi studio la funzione per $x>=0$ e poi determino per simmetrica il comportamento della funzione per x>0.

Ricordando che:

$lim_(x->+oo)(arctg(x)) = \pi/2$

quindi è un valore finito ed avrò che:

$lim_(x->+oo)(x*arctg(x^3)) = +oo$ [perchè +oo * valore finito = +oo]

e per simmetria trovo che:

$lim_(x->-oo)(x*arctg(x^3)) = +oo $


Trovando questi limiti deduco che non avrò nè asintoto orizzontale e neppure asintoto verticale.

Calcolo asintoto obliquo:

$m = lim_(x->+oo)(x*arctg(x^3))/x = \pi/2$

Ora non riesco a capire come mai il professore mi fa questo ragionamento:


per trovare $q = lim_(x->+oo)(x*arctg(x^3))-(\pi/2)x)$

usa il Teorema di de l’Hopital dicendo che è una forma indeterminata 0/0????? E non capisco come calcola poi questo q????

[@melia]

$q = lim_(x->+oo)(x*arctg(x^3))-(\pi/2)x)=lim_(x->+oo) x*(arctg(x^3)-pi/2)=lim_(x->+oo) (arctg(x^3)-pi/2)/(1/x)$ e da qui appunto Hopital

[erika861]

Un grazie di cuore

[erika861]

Un dubbio ma per le funzioni dispari per calcolare asintoto obliquo:

m e q devo analizzare per lim che tende a +oo??? o -oo????

[@melia]

In teoria dovresti calcolarli entrambi, in pratica basta calcolarne uno e poi fare la simmetria dispari per trovare l'altro. Di solito nelle funzioni dispari, comunque, l'asintoto obliquo, quando c'è, è uno solo e basta calcolare il limite a $oo$ generico o in un limite unico a $+-oo$ e si ottiene un unico risultato.