Asintoti di una funzione
La funzione $ f(x)=x/(1+ln|x|)$ ha due asintoti verticali in $ x=+-1/e $.
Il mio professore non li ha trovati studiando i limiti destro e sinistro della funzione per x che tende a $ +-1/e $, ma disegnando il grafico di ln|x| e dicendo che il suo segno é positivo quando x tende a $ 1/e $ da destra, negativo per x che tende a $ 1/e $ da sinistra, positivo per x che tende a $ -1/e $ da destra e negativo per x che tende a $ -1/e $ da sinistra.
Dopodiché ha trovato che i limiti destro e sinistro di f(x) per x che tende a 1/e valgono $ oo $ e $ -oo $, e lo stesso per x che tende a -1/e.
Perché considera solo il segno di ln|x| e non anche quello di x (al numeratore)?
E perchè per x che tende a 1/e da destra dovrebbe essere positiva? Non dovrebbe essere positiva per x>1 e negativa per 1/e<=x<1?
Il mio professore non li ha trovati studiando i limiti destro e sinistro della funzione per x che tende a $ +-1/e $, ma disegnando il grafico di ln|x| e dicendo che il suo segno é positivo quando x tende a $ 1/e $ da destra, negativo per x che tende a $ 1/e $ da sinistra, positivo per x che tende a $ -1/e $ da destra e negativo per x che tende a $ -1/e $ da sinistra.
Dopodiché ha trovato che i limiti destro e sinistro di f(x) per x che tende a 1/e valgono $ oo $ e $ -oo $, e lo stesso per x che tende a -1/e.
Perché considera solo il segno di ln|x| e non anche quello di x (al numeratore)?
E perchè per x che tende a 1/e da destra dovrebbe essere positiva? Non dovrebbe essere positiva per x>1 e negativa per 1/e<=x<1?
Risposte
Ciao maxira,
Giusto, ma avrei fatto preliminarmente qualche considerazione sul dominio e la simmetria della funzione proposta...
Il dominio è $D = \RR - {\pm 1/e, 0} = (-\infty, - 1/e) \cup (-1/e, 0) \cup (0, 1/e) \cup (1/e, +\infty) = D^{-} \cup D^+ $
Dato poi che $f(- x) = - f(x) $ si tratta di una funzione dispari, per cui conviene studiarla nel sottodominio $D^+ = (0, 1/e) \cup (1/e, +\infty) $
Pur non essendo la funzione definita in $x = 0 $, non è difficile verificare che si ha $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 $, per cui la retta verticale $x = 0 $ (asse $y $) non è un asintoto verticale, mentre invece si ha
$\lim_{x \to (1/e)^{\pm}} f(x) = \pm infty $
con ovvio significato dei simboli, ciò che conferma quanto hai scritto all'inizio, cioè che le rette verticali $x = \pm 1/e $ sono asintoti verticali per la funzione proposta.
"maxira":
La funzione $f(x)=x/(1+ln|x|) $ ha due asintoti verticali in $ x = \pm 1/e $.
Giusto, ma avrei fatto preliminarmente qualche considerazione sul dominio e la simmetria della funzione proposta...
Il dominio è $D = \RR - {\pm 1/e, 0} = (-\infty, - 1/e) \cup (-1/e, 0) \cup (0, 1/e) \cup (1/e, +\infty) = D^{-} \cup D^+ $
Dato poi che $f(- x) = - f(x) $ si tratta di una funzione dispari, per cui conviene studiarla nel sottodominio $D^+ = (0, 1/e) \cup (1/e, +\infty) $
Pur non essendo la funzione definita in $x = 0 $, non è difficile verificare che si ha $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 $, per cui la retta verticale $x = 0 $ (asse $y $) non è un asintoto verticale, mentre invece si ha
$\lim_{x \to (1/e)^{\pm}} f(x) = \pm infty $
con ovvio significato dei simboli, ciò che conferma quanto hai scritto all'inizio, cioè che le rette verticali $x = \pm 1/e $ sono asintoti verticali per la funzione proposta.
Esattamente ció che fatto il mio professore.
L'unica differenza, come ho già detto, è che ha calcolato i limiti guardando solo il comportamento di ln|x|, e volevo capire come avesse fatto.
Un'altra domanda: perché per calcolare la derivata in x=0 calcola il limite per x tendente a 0 di f(x)/x?
L'unica differenza, come ho già detto, è che ha calcolato i limiti guardando solo il comportamento di ln|x|, e volevo capire come avesse fatto.
Un'altra domanda: perché per calcolare la derivata in x=0 calcola il limite per x tendente a 0 di f(x)/x?
Beh, per $x \in (0, 1/e) $ il numeratore è senz'altro positivo, quindi il segno della funzione è dato dal denominatore che è negativo per cui $f(x) < 0 $ per $x \in (0, 1/e) $;
per $x \in (1/e, +\infty) $ il numeratore è ancora positivo, quindi il segno della funzione è dato dal denominatore che è positivo per cui $f(x) > 0 $ per $x \in (1/e, +\infty) $. Cosa accade in $D^- $ si vede per simmetria considerando la disparità della funzione.
Immagino abbia considerato $f(0) := lim_{x \to 0} f(x) = 0 $ ed usato la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 $
per $x \in (1/e, +\infty) $ il numeratore è ancora positivo, quindi il segno della funzione è dato dal denominatore che è positivo per cui $f(x) > 0 $ per $x \in (1/e, +\infty) $. Cosa accade in $D^- $ si vede per simmetria considerando la disparità della funzione.
"maxira":
Un'altra domanda: perché per calcolare la derivata in x=0 calcola il limite per x tendente a 0 di f(x)/x
Immagino abbia considerato $f(0) := lim_{x \to 0} f(x) = 0 $ ed usato la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 $
"maxira":
Un'altra domanda: perché per calcolare la derivata in x=0 calcola il limite per x tendente a 0 di f(x)/x?
La tua funzione non è definita in $0$, ma lo è il suo prolungamento per continuità.
Visto che tale prolungamento è definito per casi, non si può calcolare la derivata in $0$ sfruttando le regole di derivazione e bisogna ricorrere alla definizione di derivata.
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