Asintoti
come si calcolano gli asintoti di qualsiasi funzione? Grazie
Risposte
La domanda è sbagliata: non tutte le funzioni ammettono asintoti.
Per rispondere alla tua domanda preferirei farti ragionare con un'altra domanda: cos'è un asintoto?
Per rispondere alla tua domanda preferirei farti ragionare con un'altra domanda: cos'è un asintoto?
ehm....qual è la funzione?
"C.studentessa":
come si calcolano gli asintoti di qualsiasi funzione? Grazie
è quella retta cui la curva tende ad avvicinarsi sempre di più, senza mai però raggiungerla..
"C.studentessa":
[quote="C.studentessa"]come si calcolano gli asintoti di qualsiasi funzione? Grazie
è quella retta cui la curva tende ad avvicinarsi sempre di più, senza mai però raggiungerla..[/quote]
non è che ci sia molto da calcolare.
Cioè vi sono asintoti verticali/orizzontali/obliqui
tipo se fai $\lim_{x\to +\infty} f(x)= l$ questo è un asintoto orizzontale di coordinate $y=l$
per esempio $\lim_{x\to +\infty} \tanh(x)= \pi/2$, qui la tangente iperbolica ha asintoto orizzontale $y=\pi/2$, ma non lo tocca mai quel valore..
"21zuclo":
[quote="C.studentessa"][quote="C.studentessa"]come si calcolano gli asintoti di qualsiasi funzione? Grazie
è quella retta cui la curva tende ad avvicinarsi sempre di più, senza mai però raggiungerla..[/quote]
non è che ci sia molto da calcolare.
Cioè vi sono asintoti verticali/orizzontali/obliqui
tipo se fai $\lim_{x\to +\infty} f(x)= l$ questo è un asintoto orizzontale di coordinate $y=l$
per esempio $\lim_{x\to +\infty} \tanh(x)= \pi/2$, qui la tangente iperbolica ha asintoto orizzontale $y=\pi/2$, ma non lo tocca mai quel valore..[/quote]
come faccio a capire che il limite mi da l?
$\lim_{x\to +\infty} f(x)= l$
come faccio a capire che il limite mi da l?
$\lim_{x\to +\infty} f(x)= l$
questa l'ho presa dal libro la funzione è $f(x)=1/x*log^2x$
asintoti orizzontali
potresti spiegarmi cosa ha fatto in questi passaggi... grazie
$\lim_{x\to +\infty} (log^2x)/(x)= \lim_{x\to +\infty} [(2*logx)*(1/x)]/1=\lim_{x\to +\infty}( 2*logx)/(x)= \lim_{x\to +\infty}[( 2*1/x)/1]=0$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)= l$
questa l'ho presa dal libro la funzione è $f(x)=1/x*log^2x$
asintoti orizzontali
potresti spiegarmi cosa ha fatto in questi passaggi... grazie
$\lim_{x\to +\infty} (log^2x)/(x)= \lim_{x\to +\infty} [(2*logx)*(1/x)]/1=\lim_{x\to +\infty}( 2*logx)/(x)= \lim_{x\to +\infty}[( 2*1/x)/1]=0$
applicato la regola di De L'Hopital due volte
"Noisemaker":
applicato la regola di De L'Hopital due volte
allora non mi è chiara la regola dell'hopital..quando si usa?
si usa per calcolare dei limiti della forma $0/0$ .... e poi cosa non ti è chiaro della regola ?
"Noisemaker":
si usa per calcolare dei limiti della forma $0/0$ .... e poi cosa non ti è chiaro della regola ?
come fai a capire che è nella forma $0/0$ ?
"C.studentessa":
[quote="Noisemaker"]si usa per calcolare dei limiti della forma $0/0$ .... e poi cosa non ti è chiaro della regola ?
come fai a capire che è nella forma $0/0$ ?[/quote]
Ti consiglio di usare un buon libro di teoria. A chiarire questo dubbio sui limiti potresti anche impiegarci un paio di capitoli, e via.
La regola di de L'Hospital puoi scegliere di usarla quando hai a che fare, come diceva noisemaker, con forma indeterminate $0/0$ o $\infty / \infty$ (cioé che sia il numeratore che il denominatore tendono a zero - o numeratore e denominatore tendono entrambi ad infinito).
Nel caso del limite che hai proposto hai sia al numeratore che al denominatore roba che tende ad infinito. Dato che puoi usare di de L'Hospital, potresti davvero pensare di derivare numeratore e denominatore di modo da toglierti dai piedi la $x$ al denominatore e chiudere in un paio di secondi.
"C.studentessa":
[quote="Noisemaker"]si usa per calcolare dei limiti della forma $0/0$ .... e poi cosa non ti è chiaro della regola ?
come fai a capire che è nella forma $0/0$ ?[/quote]
Allora, la regola di De L'hopital dice :
date due funzioni $f,g:(a,b)\to \RR $ derivabili ; supponiamo che
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0,\qquad\mbox{oppure }\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty
\end{align*}
e che
\begin{align*}
g'(x)\ne0, \forall \,\,x\in \mathbb{R}
\end{align*}
allora se ESISTE il limite
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
\end{align*}
allora anche il limite
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L
\end{align*}
Allora la prima ipotesi dice che
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0,\qquad\mbox{oppure }\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty
\end{align*}
questo vuol dire che si applica in generale alle forme indetrminate $0/0$ ma anche a quei limiti in cui il denominatore $g(x)$ tende a $\pm\infty:$ questo significa che la regola vale anche quando hai qualcosa del tipo
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{5}{g(x)\to\pm\infty},\qquad\lim_{x\to x_0}\frac{\pm\infty}{g(x)\to\pm\infty},\qquad\lim_{x\to x_0}\frac{\not\exists}{g(x)\to\pm\infty},\qquad
\end{align*}
ora è chiaro che nel primo caso è del tutto inutile applicare De L'Hopital, in quanto sai bene che $5/\infty=0$, ma la regola non escude il fatto che in questo caso la si possa applicare; gli altri due casi invece sono più delicati, uno è una forma indetrminata e l'altro ti permette di trattare con De L'Hopital anche funzioni oscillanti su un infinito;
nel tuo caso allora hai
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x} \qquad\mbox{dove}\qquad f(x)=\ln^2x ,\quad g(x)=x,
\end{align*}
essendo $\lim_{x\to+\infty} x=+\infty$ siamo nel caso in cui abbiamo una forma indeterminata $\infty/ \infty;$ per poter applicare De L'Hopital bisogna prima assicurarsi che le ipotesi siano verificate, cioè dobbiamo vedere se:
le funzinoni sono derivabili, e lo sono in un opportuno intorno di $+\infty;$ se $ \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty$ e abbiamo già visto che è cosi; dobbiamo vedere anche se $g'(x)\ne0:$ e lo è in quanto $g(x)=x\Rightarrow g'(x)=1\ne0;$ allora possiamo applicare la regola di De L'Hopital che ci dice che se esite il limite del rapporto delle derivate allora esiste uguale anche il limite del rapporto tra le funzioni:
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}
\end{align*}
a questo punto siamo difronte ancora ad una forma indeterminata $\infty/ \infty;$ e dunque non possiamo concludere ancora niente; tuttavia le ipotesi della regoal di De L'Hopital sono ancora verificate per la fuznione $\frac{2\ln x}{x}$ e dunque possiamo ancora applicarla :
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{x} =0
\end{align*}
a questo punto, essendo il limite delle derivate della funzione $\frac{2\ln x}{x}$ uguale a $0$ possiamo concludere che anche il limite della funzione stessa è $0;$ ma quella funzione li non è altro che il rapporto tra le derivate della funzione di partenza, e dunque anche la funzione di partenza avrà limite uguale a $0.$
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... C3%B4pital
nelle prime 3 righe c'è già scritto quello che ti serve.
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... C3%B4pital
nelle prime 3 righe c'è già scritto quello che ti serve.
"Noisemaker":
[quote="C.studentessa"][quote="Noisemaker"]si usa per calcolare dei limiti della forma $0/0$ .... e poi cosa non ti è chiaro della regola ?
come fai a capire che è nella forma $0/0$ ?[/quote]
Allora, la regola di De L'hopital dice :
date due funzioni $f,g:(a,b)\to \RR $ derivabili ; supponiamo che
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0,\qquad\mbox{oppure }\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty
\end{align*}
e che
\begin{align*}
g'(x)\ne0, \forall \,\,x\in \mathbb{R}
\end{align*}
allora se ESISTE il limite
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
\end{align*}
allora anche il limite
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L
\end{align*}
Allora la prima ipotesi dice che
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0,\qquad\mbox{oppure }\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty
\end{align*}
questo vuol dire che si applica in generale alle forme indetrminate $0/0$ ma anche a quei limiti in cui il denominatore $g(x)$ tende a $\pm\infty:$ questo significa che la regola vale anche quando hai qualcosa del tipo
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0}\frac{5}{g(x)\to\pm\infty},\qquad\lim_{x\to x_0}\frac{\pm\infty}{g(x)\to\pm\infty},\qquad\lim_{x\to x_0}\frac{\not\exists}{g(x)\to\pm\infty},\qquad
\end{align*}
ora è chiaro che nel primo caso è del tutto inutile applicare De L'Hopital, in quanto sai bene che $5/\infty=0$, ma la regola non escude il fatto che in questo caso la si possa applicare; gli altri due casi invece sono più delicati, uno è una forma indetrminata e l'altro ti permette di trattare con De L'Hopital anche funzioni oscillanti su un infinito;
nel tuo caso allora hai
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x} \qquad\mbox{dove}\qquad f(x)=\ln^2x ,\quad g(x)=x,
\end{align*}
essendo $\lim_{x\to+\infty} x=+\infty$ siamo nel caso in cui abbiamo una forma indeterminata $\infty/ \infty;$ per poter applicare De L'Hopital bisogna prima assicurarsi che le ipotesi siano verificate, cioè dobbiamo vedere se:
le funzinoni sono derivabili, e lo sono in un opportuno intorno di $+\infty;$ se $ \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty$ e abbiamo già visto che è cosi; dobbiamo vedere anche se $g'(x)\ne0:$ e lo è in quanto $g(x)=x\Rightarrow g'(x)=1\ne0;$ allora possiamo applicare la regola di De L'Hopital che ci dice che se esite il limite del rapporto delle derivate allora esiste uguale anche il limite del rapporto tra le funzioni:
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}
\end{align*}
a questo punto siamo difronte ancora ad una forma indeterminata $\infty/ \infty;$ e dunque non possiamo concludere ancora niente; tuttavia le ipotesi della regoal di De L'Hopital sono ancora verificate per la fuznione $\frac{2\ln x}{x}$ e dunque possiamo ancora applicarla :
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{2\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{x} =0
\end{align*}
a questo punto, essendo il limite delle derivate della funzione $\frac{2\ln x}{x}$ uguale a $0$ possiamo concludere che anche il limite della funzione stessa è $0;$ ma quella funzione li non è altro che il rapporto tra le derivate della funzione di partenza, e dunque anche la funzione di partenza avrà limite uguale a $0.$[/quote]
l'hai spiegato molto bene però non riesco a capire quando il lim di x che tende a + o a - inf da come risultato + o - inf o un numero..:/
penso che una volta capito quello che ti ho domandato potrò capire quando una funzione da come risultato inf/inf, 0/0..
ecc..
il teorema di De L'Hopital non parla di limiti particolari, finiti o infiniti, parla solo di limiti che ESITONO o meno; allora l'unica cosa che devi guardare è se il limite del rapporto delle derivate esiste (finito oppure infinito) in tal caso allora puoi dire che anche il limite delle funzioni è uguale al limite del rapporto delle derivate; naturalmente, se il limite del rapporto delle derivate non esistesse, allora non è detto che il limite delle funzioni non esita, potrebbe esistere solo che il teorema di De L'Hopital in questo caso è inefficacie e bisognerà trovare un altra via per risolvere tale limite
ad esempio , $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x} $ e $g(x)=x$ e consideriamo li limite
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}
\end{align*}
le ipotesi del teorema sono verificate, applicandolo otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{2x \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{1}=2x \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}=\not\exists
\end{align*}
ma in realtà
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x} =0
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}
\end{align*}
le ipotesi del teorema sono verificate, applicandolo otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{2x \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{1}=2x \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}=\not\exists
\end{align*}
ma in realtà
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x} =0
\end{align*}
@studentessa: non sempre è necessario citare le risposte degli altri soprattutto integralmente. Se vuoi commentare una frase o un passaggio usa il tasto cita e poi cancella la parte di non interessa evitando di cancellare i quote, ok?
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