Ascissa Curvilinea
Salve, volevo solo alcune particolari spiegazioni sull'ascissa curvilinea che non mi erano chiare.
L'ascissa curvilinea rappresenta la distanza da un punto generico della curva ad un punto fissato, e la possiamo vedere come funzione integrale del tipo
$ s(t)=\int_{t_0}^{t}|\varphi^{'}(\tau)|d\tau $
La prof ci ha mostrato delle osservazioni immediate, dove:
$ s(t)={(0 \ text(se) \ t=t_0),(\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t>t_0), (-\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t
Andando avanti con la spiegazione, $ {ds}/dt = |\varphi'(t)| > 0 $ poiché la curva $ \varphi $ è regolare.
Quindi la funzione $ s $ è un cambiamento di parametro ammissibile, dunque invertibile.
Per definizione di curve equivalenti, se $ \gamma \ ~ \ \varphi \Rightarrow \gamma(s)=\varphi(t(s)) $ (correggetemi se sbaglio)
Inoltre - seconda cosa non chiara - la prof ha aggiunto che $ |\gamma'(s)|=1\Rightarrow\mathfrak{L}(\gamma)=s(b)-s(a) $ quest'ultimo passaggio anche non ho ben capito, in particolare $ |\gamma'(s)|=1 $.
Qualcuno che potrebbe spiegarmi questi due concetti?
L'ascissa curvilinea rappresenta la distanza da un punto generico della curva ad un punto fissato, e la possiamo vedere come funzione integrale del tipo
$ s(t)=\int_{t_0}^{t}|\varphi^{'}(\tau)|d\tau $
La prof ci ha mostrato delle osservazioni immediate, dove:
$ s(t)={(0 \ text(se) \ t=t_0),(\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t>t_0), (-\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t
Andando avanti con la spiegazione, $ {ds}/dt = |\varphi'(t)| > 0 $ poiché la curva $ \varphi $ è regolare.
Quindi la funzione $ s $ è un cambiamento di parametro ammissibile, dunque invertibile.
Per definizione di curve equivalenti, se $ \gamma \ ~ \ \varphi \Rightarrow \gamma(s)=\varphi(t(s)) $ (correggetemi se sbaglio)
Inoltre - seconda cosa non chiara - la prof ha aggiunto che $ |\gamma'(s)|=1\Rightarrow\mathfrak{L}(\gamma)=s(b)-s(a) $ quest'ultimo passaggio anche non ho ben capito, in particolare $ |\gamma'(s)|=1 $.
Qualcuno che potrebbe spiegarmi questi due concetti?
Risposte
Ciao DeSkyno18,
Beh, in realtà la distanza può essere anche nulla, che è il caso $t = t_0 $ che hai scritto...
Poi da quanto
Per fissare le idee, prova a pensare a $|\varphi^{'}(\tau)| $ come ad una costante positiva qualsiasi: in tal caso si potrebbe portare fuori dall'integrale ed il segno dipenderebbe proprio da $ \int_{t_0}^t "d"\tau = t - t_0 $ e quindi è chiaro che se $t > t_0 $ allora $t - t_0 > 0 $ e $s(t) = \mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) $; se invece $t < t_0 $ allora $t - t_0 < 0 $ e quindi $s(t) = - \mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) $ proprio perché la lunghezza deve essere una quantità positiva o al più nulla.
"DeSkyno18":
Prima cosa che non mi è chiara: la lunghezza dovrebbe essere una lunghezza definita positiva, quindi il segno meno cosa significa?
Beh, in realtà la distanza può essere anche nulla, che è il caso $t = t_0 $ che hai scritto...
Poi da quanto
"DeSkyno18":
la possiamo vedere come funzione integrale del tipo
$ s(t)=\int_{t_0}^t|\varphi^{'}(\tau)|"d"\tau $
Per fissare le idee, prova a pensare a $|\varphi^{'}(\tau)| $ come ad una costante positiva qualsiasi: in tal caso si potrebbe portare fuori dall'integrale ed il segno dipenderebbe proprio da $ \int_{t_0}^t "d"\tau = t - t_0 $ e quindi è chiaro che se $t > t_0 $ allora $t - t_0 > 0 $ e $s(t) = \mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) $; se invece $t < t_0 $ allora $t - t_0 < 0 $ e quindi $s(t) = - \mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) $ proprio perché la lunghezza deve essere una quantità positiva o al più nulla.
Sisi, il caso $ t=t_0 $ è banale, ho solo dimenticato di specificare lunghezza nulla.
Per quanto riguarda $ |\varphi'(t)| $ è giusto dire che rappresenta (in modulo) il coefficiente della retta tangente alla curva nel punto $ t $ considerato?
Inoltre, per quanto riguarda il caso $ t
Grazie mille, riesci a chiarirmi anche sul secondo problema?
Per quanto riguarda $ |\varphi'(t)| $ è giusto dire che rappresenta (in modulo) il coefficiente della retta tangente alla curva nel punto $ t $ considerato?
Inoltre, per quanto riguarda il caso $ t
Grazie mille, riesci a chiarirmi anche sul secondo problema?
"DeSkyno18":
Grazie mille, riesci a chiarirmi anche sul secondo problema?
Ora ci provo: controlla perché a quest'ora il rischio di scrivere boiate aumenta...
Dato che $s′(t) = |\varphi′(t)| > 0 $, cioè $s(t) $ è crescente, allora $s(t)$ è invertibile e sia $t = t(s) $ la sua inversa.
Data una curva $\varphi : I \to \RR^2 $ differenziabile ed una funzione $t = t(s)$ definita sull'intervallo $S \to I $ allora la curva $\gamma = \varphi \circ t : S \to \RR^2 $ tale che per ogni $s \in S $ si ha $\gamma(s) = \varphi(t(s))$ è una riparametrizzazione ascissa curvilinea della curva $varphi $. La riparametrizzazione è regolare se $t(S) = I $ e $t'(s) \ne 0 $.
Si può dimostrare che se $\gamma = \varphi \circ t $ è una riparametrizzazione di $\varphi$ tramite $t=t(s)$ allora si ha:
$\gamma'(s) = \frac{"d"t}{"d"s} \varphi'(t(s))$
Infatti se $\varphi(t) = (\xi(t),\psi(t)) $, allora $\gamma(s) = (\xi(t(s)), \psi(t(s)))$ e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha:
$\frac{"d"\xi(t(s))}{"d"s} = \frac{"d"\xi}{"d"t} \cdot \frac{"d"t}{"d"s}$
$\frac{"d"\psi(t(s))}{"d"s} = \frac{"d"\psi}{"d"t} \cdot \frac{"d"t}{"d"s}$
e quindi si ha:
$\gamma'(s) = \frac{"d"t}{"d"s} (\frac{"d"\xi}{"d"t} , \frac{"d"\psi}{"d"t}) = \frac{"d"t}{"d"s} \varphi'(t) $
Pertanto si ha:
$|\gamma '(s)|=|\frac{"d"t}{"d"s}|\cdot |\varphi'(t)|=\frac{1}{|s'(t)|}|\varphi'(t)|=\frac{|\varphi'(t)|}{|\varphi'(t)|} =1 $
Per concludere, se $\gamma(s)$ è una riparametrizzazione ascissa curvilinea della curva, allora si ha:
$\mathfrak{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(s)| "d"s = \int_a^b "d"s $
Chiarissimo, pensavo fosse un passaggio immediato, invece la prof ha semplicemente omesso la dimostrazione e ce l'ha data per buona.
Riesci a chiarirmi questi ultimi concetti?
Riesci a chiarirmi questi ultimi concetti?
"DeSkyno18":
Per quanto riguarda $ |φ'(t)| $ è giusto dire che rappresenta (in modulo) il coefficiente della retta tangente alla curva nel punto t considerato?
Inoltre, per quanto riguarda il caso $ t
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Se $\varphi(t)$ è una curva differenziabile e $P_0 = \varphi(t_0)$ un suo punto regolare, si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per il punto $P_0$ parallela al vettore $\varphi'(t_0) = (\xi'(t_0),\psi'(t_0)) $ ovvero al versore $\gamma'(s_0)$, con $t_0 = t(s_0) $
Per il discorso dell'integrale è chiaro che invertendo gli estremi di integrazione compare un segno meno che si elide col segno meno introdotto nella definizione: il concetto chiave è che comunque vadano le cose deve essere $\mathfrak{L}(\hat{P_{0}P}) \ge 0 $
Per il discorso dell'integrale è chiaro che invertendo gli estremi di integrazione compare un segno meno che si elide col segno meno introdotto nella definizione: il concetto chiave è che comunque vadano le cose deve essere $\mathfrak{L}(\hat{P_{0}P}) \ge 0 $
Perfetto, tutto chiaro. In generale, nel caso in cui la curva non sia regolare, c'è un significato geometrico del modulo di $ \varphi'(t) $?
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