Ascissa curvilinea
buongiorno,
qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi il significato e la relazione presente tra le frasi del mio libro??
si parla della lunghezza delle curve..
""per una stessa curva sono possibili più rappresentazioni parametriche. Ne esiste una il cui parametro è anche la lunghezza dell'arco di curva corrispondente?
definizione ascissa curvilinea: sia $ Gamma $ una curva regolare e r(t) una sua rappresentazione parametrica. la sua ASCISSA CURVILINEA s=s(t) si definisce come
$ s(t)= int_(a)^(t)||r'(t)||dt $
s parametro intrinseco alla curva che da anche la lunghezza di porzione di curva, s varia tra 0 e la lunghezza L""
ora quel che io non capisco è come questa definizione risponda alla domanda all'inizio, cioè mi sembrano due cose scollegate come una definizione data così staccata.
grazie mille a chi risponderà
qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi il significato e la relazione presente tra le frasi del mio libro??
si parla della lunghezza delle curve..
""per una stessa curva sono possibili più rappresentazioni parametriche. Ne esiste una il cui parametro è anche la lunghezza dell'arco di curva corrispondente?
definizione ascissa curvilinea: sia $ Gamma $ una curva regolare e r(t) una sua rappresentazione parametrica. la sua ASCISSA CURVILINEA s=s(t) si definisce come
$ s(t)= int_(a)^(t)||r'(t)||dt $
s parametro intrinseco alla curva che da anche la lunghezza di porzione di curva, s varia tra 0 e la lunghezza L""
ora quel che io non capisco è come questa definizione risponda alla domanda all'inizio, cioè mi sembrano due cose scollegate come una definizione data così staccata.
grazie mille a chi risponderà
Risposte
Invece queslla è proprio la cosa che ti serve: prendi una qualsiasi curva disegnata nel piano. Le coordinate dei suoi punti possono essere trovate in vari modi e la domanda posta dal libro è, fondamentalmente, se c'è un modo di determinare queste coordinate in modo che non ti interessi quale sia il sistema di riferimento corrispondente, ma solo come sia fatta la curva.
Allora, l'intuizione suggerisce che una scelta intelligente sarebbe quella di determinare le posizioni dei punti sulla curva in base alla loro distanza dal punto d'origine (un po' quello che fai quando viaggi per strada e ti chiedi "dove mi trovo adesso?"). Come fare una cosa simile?
bene, parti dall'idea di avere una qualsiasi parametrizzazione $r(t)$ della curva: dovrebbe esserti noto che la quantità
$L=\int_a^b ||r'(t)||\ dt$
rappresenta la lunghezza della curva stessa tra i punti iniziale e finale. Ora, supponi di scegliere, al posto di $b$, un punto $c\in(a,b)$: a cosa equivale l'integrale $\int_a^c ||r'(t)||\ dt$? La risposta, banale, è che esso rappresenta la distanza tr il punto iniziale e il punto che corrisponde a $t=c$ (che è un punto intermedio sulla curva): ma allora è proprio quello che cercavamo!
A questo punto, visto che a differenti valori di $c$ corrispondono differenti valori dell'integrale, ottieni una funzione integrale che si indica con
$s(t)=\int_a^t ||r'(\tau)||\ d\tau$ (scrivo $\tau$ come variabile di integrazione per non confonderla con l'estremo!)
a cui si da il nome di ascissa curvilinea e che rappresenta, appunto, la distanza di un punto generico della curva da quello iniziale.
Ora, come usare tale parametro per rappresentare la curva? Semplice: la definizione precedente fornisce una funzione invertibile (si dimostra facilmente) per cui $t\mapsto s(t)$: ma allora possiamo costruire l'applicazione inversa $s\mapsto t(s)$ che associa alle distanze dei punti sulla curva il parametro $t$ originale. Detto questo, la buona parametrizzazione definita da $\bar{r}(s)=r(t(s))$ rappresenta la parametrizzazione cercata.
Spero sia chiaro.
Allora, l'intuizione suggerisce che una scelta intelligente sarebbe quella di determinare le posizioni dei punti sulla curva in base alla loro distanza dal punto d'origine (un po' quello che fai quando viaggi per strada e ti chiedi "dove mi trovo adesso?"). Come fare una cosa simile?
bene, parti dall'idea di avere una qualsiasi parametrizzazione $r(t)$ della curva: dovrebbe esserti noto che la quantità
$L=\int_a^b ||r'(t)||\ dt$
rappresenta la lunghezza della curva stessa tra i punti iniziale e finale. Ora, supponi di scegliere, al posto di $b$, un punto $c\in(a,b)$: a cosa equivale l'integrale $\int_a^c ||r'(t)||\ dt$? La risposta, banale, è che esso rappresenta la distanza tr il punto iniziale e il punto che corrisponde a $t=c$ (che è un punto intermedio sulla curva): ma allora è proprio quello che cercavamo!
A questo punto, visto che a differenti valori di $c$ corrispondono differenti valori dell'integrale, ottieni una funzione integrale che si indica con
$s(t)=\int_a^t ||r'(\tau)||\ d\tau$ (scrivo $\tau$ come variabile di integrazione per non confonderla con l'estremo!)
a cui si da il nome di ascissa curvilinea e che rappresenta, appunto, la distanza di un punto generico della curva da quello iniziale.
Ora, come usare tale parametro per rappresentare la curva? Semplice: la definizione precedente fornisce una funzione invertibile (si dimostra facilmente) per cui $t\mapsto s(t)$: ma allora possiamo costruire l'applicazione inversa $s\mapsto t(s)$ che associa alle distanze dei punti sulla curva il parametro $t$ originale. Detto questo, la buona parametrizzazione definita da $\bar{r}(s)=r(t(s))$ rappresenta la parametrizzazione cercata.
Spero sia chiaro.
ok grazie mille!! ora mi è più chiaro
)
)
Bene, se hai bisogno di altri chiarimenti, a disposizione. So bene che, per quanto non siano complicate come definizioni, in certi casi queste cose basilari di geometria differenziali possano sembrare assurde e non riconducibili a ragionamenti banali: ci vuole un po' di "abitudine" alla cosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo