Arg(z)
Ciao, amici! Con un po' di trigonometria ho cercato di trovarmi una forma analitica di esprimere l'argomento di un numero complesso. Direi che un'espressione esplicita della determinazione principale dell'argomento \(\text{arg}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)\) possa essere\[\text{arg}(z)= \begin{cases}2\arctan\Big(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)-|z|}\Big)+\pi&\text{Re}(z)<0\lor\text{Im}(z)\ne 0\\0&\text{Re}(z)>0,\text{Im}(z)=0\end{cases}\]
Vi sembra corretta?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!
Vi sembra corretta?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!
Risposte
"DavideGenova":
... vi sembra corretta?... grazie a tutti!...
no!...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Scusami, perché l'hai complicata così tanto? Io preferisco lavorare in questo intervallo $(-pi,pi]$:
$\{(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))\text{ , } \mathfrak{Re}(z)≥0),(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))+pi\text{ , } \mathfrak{Re}(z)<0\text{ , } \mathfrak{Im}(z)≥0),(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))-pi \text{ , }\mathfrak{Re}(z)<0\text{ , } \mathfrak{Im}(z)<0):}$
$\{(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))\text{ , } \mathfrak{Re}(z)≥0),(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))+pi\text{ , } \mathfrak{Re}(z)<0\text{ , } \mathfrak{Im}(z)≥0),(arctg((\mathfrak{Im}(z))/(\mathfrak{Re}(z)))-pi \text{ , }\mathfrak{Re}(z)<0\text{ , } \mathfrak{Im}(z)<0):}$
In matematica vige una regola che non ammette eccezioni : la definizione piu' semplice e' anche la definzione piu' esatta e rigorosa . Percio' la definzione 'semplice, esatta e rigorosa' dell'argomento di un numero complesso z= x + i y e' la seguente...
$\text {arg}(z)= \mathfrak {Im} \{\ln z\}$ (1)
Da notare che la funzione argomento non e' definita in z=0 e in ogni altro punto e' definita a meno di un termine $2\ k\ \pi$ ...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\text {arg}(z)= \mathfrak {Im} \{\ln z\}$ (1)
Da notare che la funzione argomento non e' definita in z=0 e in ogni altro punto e' definita a meno di un termine $2\ k\ \pi$ ...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Dove per $ln z$ intendi l'elicoide giusto? Altrimenti i reali negativi hanno un salto...
"Maci86":
Dove per $ln z$ intendi l'elicoide giusto? Altrimenti i reali negativi hanno un salto...
Diciamo che ogni cosa torna al suo posto se si parte dalle definizioni date da Eulero delle funzioni esponenziale e logaritmo naturale...
$e^{z}= \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{z}{n})^{n}$ (1)
$\ln z = \lim_{n \rightarrow \infty} n\ (z^{\frac{1}{n]} -1)$ (2)
... dove la (2) fornisce il cosidetto 'valor principale' del logaritmo naturale, ossia il valore $\ln z = \ln |z| + i\ (\theta + 2\ k\ \pi}$ con k=0. Lo stesso Eulero ha dimostrato che le funzioni (1) e (2) sono una l'inverso dell'altra...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie a tutti e due, ragazzi!!! Forse dovevo premettere che era mia specifica intenzione trovare una funzione \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)\) ed espressa esplicitamente nelle variabili \(x=\mathfrak{Re}(z)\) e \(y=\mathfrak{Im}(z)\) per verificare che tale funzione fosse differenziabile in \(\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\).
La formula che ho scritto vi sembra quindi solo innecessariamente complicata o sbagliata come formula per calcolare l'argomento?
So che la Wikipedia non è una fonte troppo attendibile, ma mi sembra che, ruotando la $z$ nella formula per \(\text{Arg}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to (-\pi,\pi]\) -che mi sembrerebbe corretta perché \(\tan\frac{\theta}{2}=\frac{|z|\sin\theta}{|z|+|z|\cos\theta}\)- di \(\pi\) radianti sul piano complesso, cioè moltiplicando $z$ per -1, e poi incrementando \(\text{Arg}(-z)\) di \(\pi\), si arrivi alla formula che ho scritto per \(\text{arg}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)\)...
Graficandola mi pare che resituisca il grafico che mi aspettavo, ma probabilmente ho sbagliato qualcosa, vero?
\(+\infty\) grazie ancora a voi e a chiunque altro voglia aggiungere qualcosa!!!
EDIT: Corretto dove avevo scritto un'immagine invece di un dominio.
La formula che ho scritto vi sembra quindi solo innecessariamente complicata o sbagliata come formula per calcolare l'argomento?
So che la Wikipedia non è una fonte troppo attendibile, ma mi sembra che, ruotando la $z$ nella formula per \(\text{Arg}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to (-\pi,\pi]\) -che mi sembrerebbe corretta perché \(\tan\frac{\theta}{2}=\frac{|z|\sin\theta}{|z|+|z|\cos\theta}\)- di \(\pi\) radianti sul piano complesso, cioè moltiplicando $z$ per -1, e poi incrementando \(\text{Arg}(-z)\) di \(\pi\), si arrivi alla formula che ho scritto per \(\text{arg}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)\)...
Graficandola mi pare che resituisca il grafico che mi aspettavo, ma probabilmente ho sbagliato qualcosa, vero?
\(+\infty\) grazie ancora a voi e a chiunque altro voglia aggiungere qualcosa!!!
EDIT: Corretto dove avevo scritto un'immagine invece di un dominio.
Il mio Prof di Metodi Matematici per le applicazioni ci aveva dato questa formula:
\[
\arg z=2\arctan \frac{\text{Im z}}{\text{Re z}+|z|} \qquad \forall z \in \mathbb{C}^{*} \backslash \mathbb{R}_{-}
\]
\[
\arg z=2\arctan \frac{\text{Im z}}{\text{Re z}+|z|} \qquad \forall z \in \mathbb{C}^{*} \backslash \mathbb{R}_{-}
\]
...che quindi conferma la formula della Wikipedia per una funzione \(\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\to (-\pi,\pi)\). Con le rotazioni di un angolo giro che ho applicato io la formula \(2\arctan\Big(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)-|z|}\Big)+\pi\) mi sembrerebbe funzionare con un codominio \((0,2\pi)\)... o (più probabile) no?
\(+\infty\) grazie anche a te, Max!!!
\(+\infty\) grazie anche a te, Max!!!
Salve a tutti.
Ragazzi io per il calcolo dell'argomento di un numero complesso utilizzo una tabella che ora non ho a portata di mano ma che poi postero' suddivisa in vari casi con la quale non è necessario stare a preoccuparsi dell'intervallo oppure di qualsiasi altra cosa e vi assicuro che gli esercizi mi sono sempre venuti tutti. Appena possibile ve la inserisco.
Ragazzi io per il calcolo dell'argomento di un numero complesso utilizzo una tabella che ora non ho a portata di mano ma che poi postero' suddivisa in vari casi con la quale non è necessario stare a preoccuparsi dell'intervallo oppure di qualsiasi altra cosa e vi assicuro che gli esercizi mi sono sempre venuti tutti. Appena possibile ve la inserisco.
"Marco_Subiaco":
Salve a tutti.
Ragazzi io per il calcolo dell'argomento di un numero complesso utilizzo una tabella che ora non ho a portata di mano ma che poi postero' suddivisa in vari casi con la quale non è necessario stare a preoccuparsi dell'intervallo oppure di qualsiasi altra cosa e vi assicuro che gli esercizi mi sono sempre venuti tutti. Appena possibile ve la inserisco.
Come promesso qualche mese fa vi inserisco la tabella in oggetto e che io utilizzo normalmente. Potete confermarmi che è tutta esatta ? Io ad esempio ho dubbi sul caso in cui parte Reale<0 ed anche parte Imm<0; ma secondo voi è corretto sottrarre pigrego ? Io ho fatto un esercizio e mi viene sia sommando pigrego sia sottraendolo; l'unica differenza rilevante è che le soluzioni ad esempio di radice quarta di (-2-2*sqr(3)i) sono le stesse solo che risultano essere tutte traslate; ad esempio Z(tre) coincide con Z(zero) e via dicendo. Grazie per l'aiuto.
In genere (ma non sempre) l'argomento principale si definisce in \((-\pi, \pi]\); in tal caso devi sottrarre \(\pi\). E' chiaro che, dato \(\alpha\), \(\alpha + \pi\) e \(\alpha - \pi\) rappresentano lo stesso argomento, dal momento che differiscono per \(2\pi\).
Rigel grazie per la risposta, sospettavo qualcosa del genere visto che le soluzioni erano identiche ma scambiate tra di loro. Comunque dipende dall'ambito in cui si sta calcolando l'argomento di un numero complesso perchè ad esempio negli esercizi di elettrotecnica quando si ha che sia la parte reale che quella immaginaria sono negative si deve sottrarre pigrego, tassativamente, altrimenti si hanno risultati imprevedibili. Grazie per l'aiuto. Alla prossima.
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