Argomento di un numero complesso

[qwertyuio1]

Su $CC$ meno la semiretta immaginaria negativa posso definire la seguente determinazione dell'argomento $\theta$:
$\theta(x+iy)=arctg(y/x)$ se $x>0$
$\theta(x+iy)=\pi/2$ se $x=0$
$\theta(x+iy)=arctg(y/x)+\pi/2$ se $x<0$
dove $arctg$ assume valori in $]-\pi/2,\pi/2[$.

Il mio prof ha detto che $\theta$ è analitica (rispetto a z), ma io non riesco a dimostrarlo. Infatti so che $arctg$ è analitica, ma $y=Im(z)$ e $x=Re(z)$ non lo sono.
Mi date una mano?

[gugo82]

Provato con le condizioni di Cauchy-Riemann?

[qwertyuio1]

Se non ho sbagliato qualcosa risulta $\theta_x=-y/(x^2+y^2)$ e $\theta_y=x/(x^2+y^2)$.
Quindi le condizione di Cauchy Riemann diventa:
$\theta_y=i\theta_x\Leftrightarrow x=-iy$.
Dunque non è mai verificata fuori da (0,0), visto che x, y sono entrambi numeri reali.
Del resto mi viene in mente un risultato che dice che una funzione a valori in $RR$ è olomorfa solo se è costante.

A questo punto comincio a pensare che $\theta$ non sia analitica nella z, ma solo separatamente nella x e nela y. Cosa ne dite?

[dissonance]

"qwertyuio":A questo punto comincio a pensare che $\theta$ non sia analitica nella z, ma solo separatamente nella x e nela y. Cosa ne dite?

Cosa vuoi dire? Che tenendo fissata $y$ (o $x$) la funzione reale di variabile reale che ne risulta è analitica? Questo è sicuro (a patto di restringere opportunamente i domini per scansare eventuali annullamenti di denominatori), ma non è quello che ti serve. La cosa interessante è notare come quella funzione di variabile complessa, pur avendo un aspetto tanto innocuo, non è analitica. Il motivo è che non verifica le equazioni di C-R oppure, più velocemente e come hai già notato tu, che si tratta di una applicazione a valori reali ma non costante.

[qwertyuio1]

Sì intendevo proprio quello che hai detto. Grazie!