Argomento di un numero complesso
Ciao ragazzi, volevo chiedere un chiarimento per il calcolo dell'argomento di un numero complesso.
L'argomento lo si calcola con: $ vartheta =arctan(y/x) $
Ora problema consiste nel capire quando e cosa aggiungere nel calcolo dell'argomento.
Per esempio, per trovare l'argomento di $ z=i $, perchè si aggiunge $ pi/2 $? ( quindi $ vartheta =arctan(i/0)+pi/2 $).
O comunque in linea generale come faccio a capire quando e cosa aggiungere?
Grazie mille a tutti
L'argomento lo si calcola con: $ vartheta =arctan(y/x) $
Ora problema consiste nel capire quando e cosa aggiungere nel calcolo dell'argomento.
Per esempio, per trovare l'argomento di $ z=i $, perchè si aggiunge $ pi/2 $? ( quindi $ vartheta =arctan(i/0)+pi/2 $).
O comunque in linea generale come faccio a capire quando e cosa aggiungere?
Grazie mille a tutti
Risposte
Ciao sam
L argomento di $z=a+bi $ e quello che scrivi tu solo se $a>0$ cioe se il numero lo disegni nel 1 e 4 quadrante
Se $a <0$ e $b>0$ sei nel 2 quadrante e aggiungi $pi/2$
Se $a <0$ e $b <0$ sei nel 3 quadrante e togli $pi/2$
Nel tuo caso $a=0$ e $b=1$ e l argomento non e quello che dici tu ma e $pi/2$ ovviamente
Se avessi $a=0$ e per esempio $b=-1$ il tuo argomento sarebbe $-pi/2$
Ciao
L argomento di $z=a+bi $ e quello che scrivi tu solo se $a>0$ cioe se il numero lo disegni nel 1 e 4 quadrante
Se $a <0$ e $b>0$ sei nel 2 quadrante e aggiungi $pi/2$
Se $a <0$ e $b <0$ sei nel 3 quadrante e togli $pi/2$
Nel tuo caso $a=0$ e $b=1$ e l argomento non e quello che dici tu ma e $pi/2$ ovviamente
Se avessi $a=0$ e per esempio $b=-1$ il tuo argomento sarebbe $-pi/2$
Ciao
In generale quella formula è sbagliata, ciò che bisogna fare è ragionare sulla circonferenza goniometrica.
Se il numero complesso è puramente immaginario, come $z=i$
[fcd="Piano di Gauss"][FIDOCAD]
LI 70 55 120 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 116 59 4 3 0 0 0 * Re
TY 45 65 4 3 0 0 0 *
LI 75 15 75 60 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 79 13 4 3 0 0 0 * Im
TY 80 25 4 3 0 0 0 *
TY 70 32 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 77 42 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL z
LI 75 55 75 35 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
è facile vedere che l'angolo tra l'asse delle ascisse è il vettore z è di $pi/2$,
inoltre si ha che $lim_{x->0} \arctan(1/x)=\pi/2$.
Se il numero complesso si trova nel secondo quadrante, quindi in generale è nella forma $z=x+iy$ con $x<0$ e $y>0$ allora,
sicuramente l'argomento dev'essere compreso tra $pi/2$ e $\pi$.
Prendiamo ad'esempio $z=-1+i$ rappresentato in rosso,
[fcd="Piano di gauss"][FIDOCAD]
LI 43 55 120 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 116 59 4 3 0 0 0 * Re
TY 45 65 4 3 0 0 0 *
LI 75 15 75 82 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 79 13 4 3 0 0 0 * Im
TY 80 25 4 3 0 0 0 *
TY 70 32 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 69 42 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL z
LI 75 55 89 69 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 75 55 61 41 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
se applico brutalmente la formula ottengo $arctan(1/-1)=-\pi/4$ che si trova nel 4 quadrante, quindi per ottenere il giusto risultato devo sommare $\pi$.
Tieni sempre presente che l'arcotangente è definita solo nel 1 e 4 quadrante, quindi otterrai subito il valore esatto solo con numeri complessi che vivono da quelle parti, ossia con x>0. Il caso x=0 è sempre banale come abbiamo visto nel primo esempio... Spero di essere stato chiaro
Se il numero complesso è puramente immaginario, come $z=i$
[fcd="Piano di Gauss"][FIDOCAD]
LI 70 55 120 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 116 59 4 3 0 0 0 * Re
TY 45 65 4 3 0 0 0 *
LI 75 15 75 60 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 79 13 4 3 0 0 0 * Im
TY 80 25 4 3 0 0 0 *
TY 70 32 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 77 42 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL z
LI 75 55 75 35 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
è facile vedere che l'angolo tra l'asse delle ascisse è il vettore z è di $pi/2$,
inoltre si ha che $lim_{x->0} \arctan(1/x)=\pi/2$.
Se il numero complesso si trova nel secondo quadrante, quindi in generale è nella forma $z=x+iy$ con $x<0$ e $y>0$ allora,
sicuramente l'argomento dev'essere compreso tra $pi/2$ e $\pi$.
Prendiamo ad'esempio $z=-1+i$ rappresentato in rosso,
[fcd="Piano di gauss"][FIDOCAD]
LI 43 55 120 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 116 59 4 3 0 0 0 * Re
TY 45 65 4 3 0 0 0 *
LI 75 15 75 82 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 79 13 4 3 0 0 0 * Im
TY 80 25 4 3 0 0 0 *
TY 70 32 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 69 42 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL z
LI 75 55 89 69 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 75 55 61 41 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
se applico brutalmente la formula ottengo $arctan(1/-1)=-\pi/4$ che si trova nel 4 quadrante, quindi per ottenere il giusto risultato devo sommare $\pi$.
Tieni sempre presente che l'arcotangente è definita solo nel 1 e 4 quadrante, quindi otterrai subito il valore esatto solo con numeri complessi che vivono da quelle parti, ossia con x>0. Il caso x=0 è sempre banale come abbiamo visto nel primo esempio... Spero di essere stato chiaro
Oh, quanto siete complicati ...
$theta=arccos(x/(|z|))$
$theta=arcsin (y/|z|)$
Cordialmente, Alex
$theta=arccos(x/(|z|))$
$theta=arcsin (y/|z|)$
Cordialmente, Alex
Per me che sono uno smemorato, non c'è altra via che vederla geometricamente.
Ma anche quella è geometria ... 
touché 
Grazie a tutti per le risposte
QUindi se ho ben capito, data l'equazione, attraverso l'esistenza e i segni di x e iy capisco in che quadrante mi trovo. Se mi trovo nel primo o quarto quadrante sono apposto e non devo aggiungere e togliere niente durante il calcolo dell'argomento.
Se invece mi ritrovo nel secondo o terzo quadrante, durante il calcolo dell'argomento devo aggiungere o togliere una quantità pari a $ pi $ o a $ pi/2 $ a seconda del caso.
Ps: se io avessi $ z=x $, l'argomento sarebbe uguale a zero giusto?
invece se avessi $ z=-x $, trovandomi nel semiasse negativo delle ascisse, devo togliere o aggiungere $ pi $?
QUindi se ho ben capito, data l'equazione, attraverso l'esistenza e i segni di x e iy capisco in che quadrante mi trovo. Se mi trovo nel primo o quarto quadrante sono apposto e non devo aggiungere e togliere niente durante il calcolo dell'argomento.
Se invece mi ritrovo nel secondo o terzo quadrante, durante il calcolo dell'argomento devo aggiungere o togliere una quantità pari a $ pi $ o a $ pi/2 $ a seconda del caso.
Ps: se io avessi $ z=x $, l'argomento sarebbe uguale a zero giusto?
invece se avessi $ z=-x $, trovandomi nel semiasse negativo delle ascisse, devo togliere o aggiungere $ pi $?
È lo stesso ...
Ma il segno non cambia?
$cos(pi)\ =\ cos(-pi)\ =\ -1$ ... che poi è sempre vero anche $cos(x)=cos(-x)$ ...
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