Argomento di convessità
Leggendo il libro An Introduction to Complex Analysis in Several Variables di Hörmander, nella dimostrazione che $\Omega$ pseudoconvesso implica $\Omega$ dominio di olomorfia (thm 4.2.9 per chi avesse la fonte diretta) l'autore svolge un passaggio che non riesco a spiegarmi per bene.
Sia $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ aperto pseudoconvesso. La dimostrazione procede per induzione su $n$ (il caso base è banale). Hörmander vuole dimostrare che preso un qualunque sottoinsieme convesso $D\subset\Omega$ tale che ci sia un qualche $z^0 \in \partial\Omega\cap\partial D$, esiste una funzione analitica $f$ in $\Omega$ che non può essere continuata oltre.
Per comodità si assume che $z^0 = (0,\cdots,0)$ e che il piano ${z_n =0}$ abbia intersezione non vuota, detta $D_0$, con l'insieme convesso $D$.
Ecco il punto spinoso:
"Allora la convessità di $D$ mostra che $0$ sta sul bordo di $D_0$"
Ho provato a fare disegni, ma non ho ottenuto una situazione che mi facesse capire questa necessità di convessità. Oltretutto io direi addirittura che, dato che l'interno del piano ${z_n=0}$ è vuoto, lo è per forza anche quello di $D_0$, dunque, essendo la distanza tra $D$ e il piano nulla ($0$ sta sul piano), mi sembra che $0\in\partial D_0$ a prescindere dalla convessità.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie
Paola
Sia $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ aperto pseudoconvesso. La dimostrazione procede per induzione su $n$ (il caso base è banale). Hörmander vuole dimostrare che preso un qualunque sottoinsieme convesso $D\subset\Omega$ tale che ci sia un qualche $z^0 \in \partial\Omega\cap\partial D$, esiste una funzione analitica $f$ in $\Omega$ che non può essere continuata oltre.
Per comodità si assume che $z^0 = (0,\cdots,0)$ e che il piano ${z_n =0}$ abbia intersezione non vuota, detta $D_0$, con l'insieme convesso $D$.
Ecco il punto spinoso:
"Allora la convessità di $D$ mostra che $0$ sta sul bordo di $D_0$"
Ho provato a fare disegni, ma non ho ottenuto una situazione che mi facesse capire questa necessità di convessità. Oltretutto io direi addirittura che, dato che l'interno del piano ${z_n=0}$ è vuoto, lo è per forza anche quello di $D_0$, dunque, essendo la distanza tra $D$ e il piano nulla ($0$ sta sul piano), mi sembra che $0\in\partial D_0$ a prescindere dalla convessità.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie
Paola
Risposte
Non è che [tex]$\partial D_0 \subseteq \partial D\cap \{ z_n=0\}$[/tex] o che [tex]$\text{relint} D_0 =\text{relint} (D\cap \{ z_n=0\})$[/tex]?
Ma sicuramente per $D_0$ si parla di "parte interna" e di "bordo" $n-1$ dimensionali. Questo perché $D_0$ è contenuto in ${z_n=0}$, ovvero in $CC^{n-1}$. Ci sono teoremi su queste cose che credo essere piuttosto standard. Prova a dare un'occhiata qui:
http://assets.cambridge.org/97805213/52 ... 2208ws.pdf
Theorem 1.1.14. Oppure aspetta che passi Gugo perché molto probabilmente ti sa rispondere.
[EDIT] Ecco, appunto.
http://assets.cambridge.org/97805213/52 ... 2208ws.pdf
Theorem 1.1.14. Oppure aspetta che passi Gugo perché molto probabilmente ti sa rispondere.
[EDIT] Ecco, appunto.
@dissonance: Ecco, bravo, hai linkato proprio il libro che mi scocciavo di cercare (sarà sepolto chissà dove...). 
Non vi seguo purtroppo. Ok che si considera il bordo $(n-1)$-dimensionale di $D_0$, ma ho provato ad immaginare la situazione in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ prendendo $D$ non convesso, ma ottengo sempre $0$ sul bordo. Può capitarmi che ci sia un intorno forato di $0$ tutto incluso in $D_0$ (quindi $0$ è un foro di $D_0$ diciamo), ma anche in questo caso sarebbe sul bordo...
Potete spiegarmi?
Grazie!
Paola
Potete spiegarmi?
Grazie!
Paola
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