Aree
scusatemi tanto ma questa analisi 2 (come tanti altri corsi) mi fa impazzire..
calcolare (con gli integrali doppi) la superficie dell'insieme compreso fra
a) z=1 z=4 z=4sqrt*(x^2+y^2)
b) z>=0,y>=0,x>=0,z<=x+y,y<=-x+1
grazie
calcolare (con gli integrali doppi) la superficie dell'insieme compreso fra
a) z=1 z=4 z=4sqrt*(x^2+y^2)
b) z>=0,y>=0,x>=0,z<=x+y,y<=-x+1
grazie
Risposte
a)L'area di una sup.in coordinate cartesiane spaziali
si ottiene con la formula:
Area=intint(sqrt(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
dove:
intint=integrale doppio esteso al dominio D di variazione
di (x,y);
Zx e Zy le derivate parziali di Z rispetto ad x e
ad y.
Nel nostro caso (essendo z=4sqrt(x^2+y^2) si ha:
Zx=4x/sqrt(x^2+y^2),Zy=4y/sqrt(x^2+y^2) e quindi
sqrt(1+Zx^2+Zy^2)=sqrt(17) e dunque:
Area=sqrt(17)*[intintdxdy]
Ora l'ultimo integrale,senza fare ulteriori calcoli,e' l'area
del dominio D che,nel nostro caso, e' quella della corona circolare
di raggi z=1/4 e z=4/4=1 .
Ne segue:
Area=sqrt(17)*Pi*(1^2-(1/4)^2)=15/16*Pi*sqrt(17).
(Pi=p_greco).
Per l'esercizio (b) devo pensarci (la figura non e' facile),percio',se non hai fretta,lo posto domani.
karl.
P.S.
Eventualmente si possono usare anche coordinate polari
ma le formule cambiano.
si ottiene con la formula:
Area=intint(sqrt(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
dove:
intint=integrale doppio esteso al dominio D di variazione
di (x,y);
Zx e Zy le derivate parziali di Z rispetto ad x e
ad y.
Nel nostro caso (essendo z=4sqrt(x^2+y^2) si ha:
Zx=4x/sqrt(x^2+y^2),Zy=4y/sqrt(x^2+y^2) e quindi
sqrt(1+Zx^2+Zy^2)=sqrt(17) e dunque:
Area=sqrt(17)*[intintdxdy]
Ora l'ultimo integrale,senza fare ulteriori calcoli,e' l'area
del dominio D che,nel nostro caso, e' quella della corona circolare
di raggi z=1/4 e z=4/4=1 .
Ne segue:
Area=sqrt(17)*Pi*(1^2-(1/4)^2)=15/16*Pi*sqrt(17).
(Pi=p_greco).
Per l'esercizio (b) devo pensarci (la figura non e' facile),percio',se non hai fretta,lo posto domani.
karl.
P.S.
Eventualmente si possono usare anche coordinate polari
ma le formule cambiano.
1' esercizio :
si tratta di un tronco di cono la cui superficie laterale mi viene :
S = sqrt(17)*15*pi/16 .
Il procedimento è quello classico per calcolare le superficie (integrale doppio della norma del prodotto vettoriale dei trasformati secondo lo jacobiano dei vettori infinitesimi ecc. ecc.).
Come parametrizzazione della superficie consiglierei :
x = ro*cos(teta)
y = ro*sin(teta)
z = 4*ro
con :
1/4 <= ro <= 1
0 <= teta <= 2*pi.
2' esercizio :
la figura mi risulta infinita !! manca per caso qualcosa ? (o io ho preso un granchio).
S.E.e.O.
ps. da come è formulata una parte del testo, non è che si doveva calcolare il volume invece della superficie ?
si tratta di un tronco di cono la cui superficie laterale mi viene :
S = sqrt(17)*15*pi/16 .
Il procedimento è quello classico per calcolare le superficie (integrale doppio della norma del prodotto vettoriale dei trasformati secondo lo jacobiano dei vettori infinitesimi ecc. ecc.).
Come parametrizzazione della superficie consiglierei :
x = ro*cos(teta)
y = ro*sin(teta)
z = 4*ro
con :
1/4 <= ro <= 1
0 <= teta <= 2*pi.
2' esercizio :
la figura mi risulta infinita !! manca per caso qualcosa ? (o io ho preso un granchio).
S.E.e.O.
ps. da come è formulata una parte del testo, non è che si doveva calcolare il volume invece della superficie ?
non ho fretta.. grazie 1000 a entrambi
per karl
la figura è un tetraedro penso regolare, nel primo ottante..
per arriama
infatti bisognava calcolare area e volume, ma i volumi li ho calcolati io..non so se sono giusti però [;)]
per karl
la figura è un tetraedro penso regolare, nel primo ottante..
per arriama
infatti bisognava calcolare area e volume, ma i volumi li ho calcolati io..non so se sono giusti però [;)]
Il volume del tronco di cono è :
(21/16)pi .
Si taglia il tronco di cono con un piano z = cost. , si ottiene un cerchio di raggio z/4. Si trasforma in coordinate polari ecc. ecc.
S.e.E.O.
(21/16)pi .
Si taglia il tronco di cono con un piano z = cost. , si ottiene un cerchio di raggio z/4. Si trasforma in coordinate polari ecc. ecc.
S.e.E.O.
ok grazie, i conti tornano..
l'area del teatraedro è difficile da calcolare?
l'area del teatraedro è difficile da calcolare?
Supposto si tratti del tetraedro di vertici :
(0,0,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (0,1,1) ,
il calcolo dell'area della superficie non necessita di integrali. Comunque, volendo usare i suddetti, direi che tre facce sono ovvie, per cui il tutto si ridurrebbe al calcolo dell'area del triangolo di vertici :
(0,0,0) , (1,0,1) , (0,1,1)
individuato dal piano x + y - z = 0 usando la formula che ha suggerito karl ed integrando sull'apposito dominio.
Bye.
(0,0,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (0,1,1) ,
il calcolo dell'area della superficie non necessita di integrali. Comunque, volendo usare i suddetti, direi che tre facce sono ovvie, per cui il tutto si ridurrebbe al calcolo dell'area del triangolo di vertici :
(0,0,0) , (1,0,1) , (0,1,1)
individuato dal piano x + y - z = 0 usando la formula che ha suggerito karl ed integrando sull'apposito dominio.
Bye.
Ma e' sicuro che si tratti di un tetraedro
e non di una piramide?
Prendetela come una curiosita', non come
una presunzione di certezza da parte mia.
In ogni caso,come dice giustamente Arriama,
il calcolo dall'area tramite integrali doppi
mi sembra uno spreco.
karl.
e non di una piramide?
Prendetela come una curiosita', non come
una presunzione di certezza da parte mia.
In ogni caso,come dice giustamente Arriama,
il calcolo dall'area tramite integrali doppi
mi sembra uno spreco.
karl.
E' una piramide !
(avevo sbagliato il segno di una disequazione, per cui mi sembrava una figura formata da un prisma triangolare infinito + un tetraedro ...)
(avevo sbagliato il segno di una disequazione, per cui mi sembrava una figura formata da un prisma triangolare infinito + un tetraedro ...)
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