Area triangolo dato da tre rette
Salve a tutti vorrei un chiarimento....
io ho la retta $r$ con equazione $ y=x+2$ e la retta $t$ con equazione $ x=k$ con $k$ parametro reale $>=1$ poi ho il punto $P(1,3)$ , inoltre la retta $s$ è perpendicolare alla retta $r$ e passa per il punto $P$. Per quale $k>=1$ l'area del triangolo formato da$r,s,t$ è pari a 9?
io per prima cosa ho fatto il grafico disegnando il punto P, successivamente ho disegnato la retta $r$ risolvendo l'equazione e le coordinate sono $r(0,2)$....poi ho dei dubbi, in quanto io credo che si debba calcolare la distanza tra il punto P e rispettivamente la retta r e s( le coordinate di $S$ le ho trovate grazie al punto P e sono uguali alla retta r, come è possibile??)fin qui è esatto il mio procedimento???e poi il K me lo trovo con la formula inversa dell'area del triangolo, giusto?
io ho la retta $r$ con equazione $ y=x+2$ e la retta $t$ con equazione $ x=k$ con $k$ parametro reale $>=1$ poi ho il punto $P(1,3)$ , inoltre la retta $s$ è perpendicolare alla retta $r$ e passa per il punto $P$. Per quale $k>=1$ l'area del triangolo formato da$r,s,t$ è pari a 9?
io per prima cosa ho fatto il grafico disegnando il punto P, successivamente ho disegnato la retta $r$ risolvendo l'equazione e le coordinate sono $r(0,2)$....poi ho dei dubbi, in quanto io credo che si debba calcolare la distanza tra il punto P e rispettivamente la retta r e s( le coordinate di $S$ le ho trovate grazie al punto P e sono uguali alla retta r, come è possibile??)fin qui è esatto il mio procedimento???e poi il K me lo trovo con la formula inversa dell'area del triangolo, giusto?
Risposte
Ciao,
devi trovare il valore di $K >= 1$ per cui l'area del triangolo colorato nell'immagine è 9. Poichè le rette $r$ e $s$ sono perpendicolari, il triangolo è rettangolo. Per calcolare l'area occorre trovare la lunghezza dei cateti $bar (PR) $ e $bar (PQ)$, lunghezze che saranno dipendenti dal parametro k perché le coordinate dei punti $R$ e $Q$ dipendono da k, essendo questi punti della retta t. La lunghezza di un cateto la calcoli facendo la distanza tra 2 punti una volta trovate le coordinate di $R$ e $Q$. $R=(K,K+2)$ per $Q$ devi scrivere la retta $s$
"Ziben":
Ciao,
devi trovare il valore di $K >= 1$ per cui l'area del triangolo colorato nell'immagine è 9. Poichè le rette $r$ e $s$ sono perpendicolari, il triangolo è rettangolo. Per calcolare l'area occorre trovare la lunghezza dei cateti $bar (PR) $ e $bar (PQ)$, lunghezze che saranno dipendenti dal parametro k perché le coordinate dei punti $R$ e $Q$ dipendono da k, essendo questi punti della retta t. La lunghezza di un cateto la calcoli facendo la distanza tra 2 punti una volta trovate le coordinate di $R$ e $Q$. $R=(K,K+2)$ per $Q$ devi scrivere la retta $s$
Più semplicemente .... se indichi con $M$ la proiezione di $P$ su $RQ$, l'area cercata è $Area=\bar(PM)^2=9$, dove $PM=k-1$.
Quindi devi risolvere, con $k>=1$, l'equazione $(k-1)^2=9->k-1=+-3$, da cui $k=-2$, che non è accettabile, e $k=4$.
ti ringrazio....sei stata molto più che chiara, chiarissima!!!!! 
grazie
grazie
Ciao!
Dato che la frase "tanti parametri tante equazioni sparametrizzanti" è sempre utile in questi problemi
(nel tuo caso ti basterà impostare un'equazione sola,visto che è presente solo il parametro k..),
e non è inoltre detto che avrai sempre a che fare con triangoli rettangoli,
potresti scrivere che s:y-3=-1(x-1)
(è l'equaz della retta passante per p e con coefficente angolare antireciproco di quello di r,ovvero la tua $s_|_r$..);
a quel punto i vertici del tuo triangolo T li becchi tramite le tre intersezioni a due a due dei sostegni dei suoi lati,
ed allo stato attuale avrai $A-=P$=(1,3),B=(k,-k+4),C=(k,k+2):
ricordando la formula dell'area d'un triangolo con vertici noti potrai infine trasformare la richiesta che
$mathcal(A)(T)=9$ in $1/2|det((1,3,1),(k,4-k,1),(k,k+2,1))|=9hArr1/2|2k^2-4k+2|=9cdots$.
Saluti dal web.
Dato che la frase "tanti parametri tante equazioni sparametrizzanti" è sempre utile in questi problemi
(nel tuo caso ti basterà impostare un'equazione sola,visto che è presente solo il parametro k..),
e non è inoltre detto che avrai sempre a che fare con triangoli rettangoli,
potresti scrivere che s:y-3=-1(x-1)
(è l'equaz della retta passante per p e con coefficente angolare antireciproco di quello di r,ovvero la tua $s_|_r$..);
a quel punto i vertici del tuo triangolo T li becchi tramite le tre intersezioni a due a due dei sostegni dei suoi lati,
ed allo stato attuale avrai $A-=P$=(1,3),B=(k,-k+4),C=(k,k+2):
ricordando la formula dell'area d'un triangolo con vertici noti potrai infine trasformare la richiesta che
$mathcal(A)(T)=9$ in $1/2|det((1,3,1),(k,4-k,1),(k,k+2,1))|=9hArr1/2|2k^2-4k+2|=9cdots$.
Saluti dal web.
"Ziben":
Ciao,
devi trovare il valore di $K >= 1$ per cui l'area del triangolo colorato nell'immagine è 9. Poichè le rette $r$ e $s$ sono perpendicolari, il triangolo è rettangolo. Per calcolare l'area occorre trovare la lunghezza dei cateti $bar (PR) $ e $bar (PQ)$, lunghezze che saranno dipendenti dal parametro k perché le coordinate dei punti $R$ e $Q$ dipendono da k, essendo questi punti della retta t. La lunghezza di un cateto la calcoli facendo la distanza tra 2 punti una volta trovate le coordinate di $R$ e $Q$. $R=(K,K+2)$ per $Q$ devi scrivere la retta $s$
la cosa che non ho ben capito è come mi calcolo la distanza tra due punti se non conosco le coordinate della retta $ s $
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