Area tra cerchio e cardioide
Ciao ho un nuovo quesito da porvi visto che non sono in grado di fornirmi la risposta, ho un esercizio che recita:
L'area della regione piana interna al cerchio unitario x^2 + y^2 =1 e alla cardioide rho= 1+cos(theta).
Io immagino intenda la porzione di piano che si identifica dall'intersezione delle due figure, ho deciso di passare alle coordinate polari e quindi integrare Rho dRho dTheta, con 0
L'area della regione piana interna al cerchio unitario x^2 + y^2 =1 e alla cardioide rho= 1+cos(theta).
Io immagino intenda la porzione di piano che si identifica dall'intersezione delle due figure, ho deciso di passare alle coordinate polari e quindi integrare Rho dRho dTheta, con 0
Risposte
Per ragioni di simmetria, l'area considerata è il doppio dell'area della regione che occupa i primi due quadranti; puoi limitarti a considerare \(0\leq \theta \leq \pi\).
Nota che la circonferenza in polari è rappresentata dalla curva-grafico di equazione \(\rho =1\), mentre il cardioide dalla curva-grafico di equazione \(\rho = 1+\cos \theta\).
Conseguentemente la parte che ti interessa della regione interna alle due curve si ottiene considerando i punti del piano polare che hanno \(0\leq \theta \leq \pi\) e \(0\leq \rho \leq \min \{1, 1+\cos \theta\}\).
Ne viene che:
\[
\operatorname{area} = 2\ \int_0^\pi \int_0^{\min \{1, 1+\cos \theta\}} \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta\; .
\]
Per continuare, devi assolutamente esplicitare quel minimo: ciò si fa risolvendo la disequazione \(1+\cos \theta \geq 1\) e si vede che:
\[
\operatorname{area} = 2\ \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta + 2\ \int_{\pi/2}^\pi \int_0^{1+\cos \theta} \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta\; .
\]
Nota che la circonferenza in polari è rappresentata dalla curva-grafico di equazione \(\rho =1\), mentre il cardioide dalla curva-grafico di equazione \(\rho = 1+\cos \theta\).
Conseguentemente la parte che ti interessa della regione interna alle due curve si ottiene considerando i punti del piano polare che hanno \(0\leq \theta \leq \pi\) e \(0\leq \rho \leq \min \{1, 1+\cos \theta\}\).
Ne viene che:
\[
\operatorname{area} = 2\ \int_0^\pi \int_0^{\min \{1, 1+\cos \theta\}} \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta\; .
\]
Per continuare, devi assolutamente esplicitare quel minimo: ciò si fa risolvendo la disequazione \(1+\cos \theta \geq 1\) e si vede che:
\[
\operatorname{area} = 2\ \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta + 2\ \int_{\pi/2}^\pi \int_0^{1+\cos \theta} \rho\ \text{d}\rho\ \text{d}\theta\; .
\]
l'integrale da 0 a pi/2 è in dTheta ma va fatto anche il dRho da 0 a 1+cos(theta) pure lì oppure no?
Grazie mille
Grazie mille
"ducajack":
l'integrale da 0 a pi/2 è in dTheta ma va fatto anche il dRho da 0 a 1+cos(theta) pure lì oppure no?
Mi ero dimenticato per strada un integrale nel copia/incolla... Sorry.
Ora ho corretto.
Ottimo grazie milleeee 
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