Area superficie regolare

[dragonheart90]

Ciao ragazzi vorrei una mano per questo esercizio:
si calcoli l'area della superficie regolare
$\varphi : \rightarrow \mathbb{R}^2$ dove $\varphi (u,v) = ( u*v,u+v,u-v)$
e $D={( u,v) in RR^2 : u>=0,v>=0,u^2+v^2<=1}$

io ho svolto in questa maniera:
$\{(x=u*v),(y=u+v),(z=u-v):}$
poi dalla matrice jacobiana
$((v,1,1),(u,1,-1))$ da lì ho calcolato $|(v-u)|^2+|(-v-u)|^2+|(-2)|^2 = 2*(v+u)^2+4$

$\int int_D sqrt(2*(v^2+u^2+2))dudv$ che non so come risolvere e nemmeno quali indici d'integrazione mettere
grazie in anticipo

[ciampax]

Pensalo come un integrale doppio nelle variabili $u,v$ e passa a coordinate polari $u=\rho \cos\theta,\ v=\rho \sin\theta$.

[dragonheart90]

facendo la sostituzione in coordinate polari:
ho ottenuto le condizioni $-1 quindi
$ sqrt(2)\int_{0}^{pi/2}d\vartheta \int_{-1}^{1} sqrt(rho^2+2)*rhodrho = sqrt(2)\int_{0}^{pi/2} d\vartheta* 1/2\int_{-1}^{1} sqrt(rho^2+2)*d(rho^2+2) =$

e viene $= sqrt(2)/2*pi/2*[2/3*(rho^2+2)^(3/2)]_{-1}^{1} = 0$
perciò c'è qualcosa che non mi quadra... ho fatto qualche errore da qualche parte?? o prima o adesso?? o nel dominio $rho$ o $theta$ ?

[ciampax]

Ciccio, $\rho$ è una distanza (quella del punto dall'origine del sistema di coordinate): ti pare possible che sia negativa? E poi alla fine perché diventa $\rho^2-2$???

[dragonheart90]

$rho^2-2$ è semplicemente perché ho sbagliato a digitare ovviamente è $rho^2+2$ ... cmq $rho$ mi era venuta tra -1 e 1 sostituendo le coordinate polari nelle condizioni... quindi sarebbe $0

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[ciampax]

Cerro che sì: la condizione per cui $\rho\ge 0$ deve essere sempre tenuta in mente!

[dragonheart90]

grazie tante... non avevo riflettuto sul fatto che $rho$ fosse la distanza... ora sono giunto ad un risultato all'apparenza plausibile ( spero sia giusto XD)... Cmq ora ho capito dove sbagliavo in molti altri esercizi

a ma se un area mi viene con il segno meno davanti vuol dire che è sicuramente sbagliata vero??

[ciampax]

Dalla definizione che usi per l'area ti rendi conto che necessariamente devi avere un valore positivo (perché?), per cui se viene negativo, hai toppato!

[dragonheart90]

no allora il risultato di questo integrale mi viene positivo... e penso sia corretto, il fatto dell'area negativa è di un altro esercizio che ipotizzo mi sia venuto sbagliato sbagliato... ma sul mio libro di testo, ho trovato un integrale doppio che viene $-2/3*r^2$ con r positivo quindi mi è sorto questo dubbio se l'area posa venire mai negativa...

[ciampax]

Un integrale doppio può avere valore negatiovo. Ma quando si tratta dell'area di una superficie il risultato deve essere per forza positiva, e ciò deriva dalla "regola" da te utilizzata (e di nuovo ti chiedo: perché?).

[dragonheart90]

sinceramente... oltre al fatto che secondo logica un'area deve essere positiva non mi viene in mente altro...
ho letto la teoria e mi verrebbe di dire che è perchè la superficie da integrare è regolare... ma non capisco appieno la motivazione

[ciampax]

La formula ti dice che, se $r(u,v)$ con $(u,v)\in D\subset RR^2$ è la tua parametrizzazione della superficie e indichi con $e,\ f,\ g$ i tuoi minori, allora

$A=\int_D \sqrt{e^2+f^2+g^2}\ du\ dv$

e quindi che risultato verrà fuori? Mi chiedo sinceramente: ma il cervello lo accendete quando vi mettete a studiare?

[dragonheart90]

mmm per quelli che sanno bene la matematica ( specialemente insegnanti) sono scontate queste cose... ma non è poi così scontato per gli studenti XD... per se lo fai notare è ovvio che quell'integrale sarà positivo

[ciampax]

"dragonheart90":mmm per quelli che sanno bene la matematica ( specialemente insegnanti) sono scontate queste cose... ma non è poi così scontato per gli studenti XD... per se lo fai notare è ovvio che quell'integrale sarà positivo

Avrei molto da obiettare su cosa sia scontato e cosa no: io da certe risposte evinco che uno studente non legge con attenzione e non ragiona su ciò che si ritrova davanti. E comunque, continui a non darmi una risposta.

[dragonheart90]

allora per me è positivo perchè i minori sono tutti al quadrato, quindi positivi, la radice è positiva, quindi la funzione che andrò a integrare è maggiore di zero e perciò mi darà area positiva

[ciampax]

Giusto.

[dragonheart90]

grazie per avermi aiutato a ragionarci sopra, altrimenti non ci avrei mai riflettuto su questo